受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

微分の問題、慶應大学2009年度理工学部のA3の解説
今日は寒いかったから、鼻から血出たわ。


慶應大学2009年度理工学部の問題A3の解説いきます。

[問題]
a>1とする。xy平面上において点(a,a)を中心とする半径rの円
(x-a)^2+(y-a)^2=r^2
を考える。この円が曲線C:xy=1(x>0)に接するのは、半径rがどのような値のときであるか調べてみよう。
この半径rの円が曲線Cと接するとき、その接点のx座標は、曲線
y=f(x)=(x-a)^2+(1/x - a)^2
と直線y=r^2が接する場合の接点のx座標と一致する。
1<a≦(ソ)のとき、y=f(x)はx>0においてx=a_0=(タ)でのみ極小となる。よって、x座標がa_0なる点において半径r=(チ)の円だけが曲線Cに接する。
a>(ソ)のとき、y=f(x)はx>0においてx=a_0で極大となり、x=a_1=(ツ),
x=a_2=(テ)(a_1<a_2)において極小となる。したがって、x座標がa_0なる点で曲線Cに接する円のほかに、半径r=(ト)の円がx座標がa_1,a_2なる2点において曲線Cに接する。



[解答と解説]
090426_m1.jpg

y=f(x)の式は、円の式の左辺でyが1/xになってるからy消去して
(x-a)^2+(1/x - a)^2=r^2
で変数分離の考え方から、y=r^2とy=f(x)=(x-a)^2+(1/x - a)^2を考えて
y=f(x)=(x-a)^2+(1/x - a)^2
のグラフを書いてy=r^2が接するようにすれば良いってやろうとしてるわけやな。

まあ変数分離とか言うても、元から分離されてるけどな。

ただ、この誘導が無いと横の受験生にペットボトルで襲いかかることになりそうな感じがします。

文章を何となく読んどったら、極小とか出てくるから微分するんやろな。


f'(x)=2(x-a)+2(1/x -a )(-1/x^2)
=2(x-1)(x+1)(x^2-ax+1)/x^3

はい、いいですね。

微分したらこうやって因数分解って言うのが、そらもうあれやろ。

だから
x^2-ax+1
のとこがaの値によって常に0以上やったりとか、負になったりとかするから、判別式をDとして
D=a^2-4
=(a-2)(a+2)
でこれで場合分けをします。

x=a_0のみで極小って書いてるから、x^2-ax+1は常に0以上⇔D≦0⇔-2≦a≦2の時の場合になります。
a>1やったから、1<a≦2の時です。
この時は定義域はx>0だから(x-1)だけがf'(x)の正負にかかわっててx=1で極小になることが増減表かいたらわかります。
だからa_0=1で
lim(x→+0)f(x)=∞に注意してグラフを書くと、y=r^2がy=f(x)に接するのは極小になってるx=a_0のところです。

だからf(a_0)=r^2となる時が円が曲線Cに接する時です。

これを解いていって
f(a_0)=f(1)=2(1-a)^2
でr>0だから
r=(√2)(a-1)


090426_m2.jpg

次はD>0⇔a<-2,2<aの時でa>1から2<aの時を考えるとこれは
x^2-ax+1=0
は異なる二つの解を持つから、それをα,βおくと(α>β)
(x-1)の因子からx=1とα,βは一体どういうお関係なのか知りたくなりますが、

g(x)=x^2-ax+1
とおくと
g(1)=2-a<0
より二次関数y=g(x)のグラフを考えたら、x<1と1<xでx軸で交わるのがわかります。

だから
β<1<α

なわけやな。

これでf(x)の増減表が問題文からβもx>0に入るんやろなって書けるけど、ほんまはβは0より大きいことを証明して定義域x>0に入ってることを証明しとかなあかんから、一番簡単なのは解と係数の関係から

α+β=a-1>0
αβ=1>0

やから
α+β>0かつαβ>0

α>0かつβ>0
でオッケー

増減表を書いて
x=a_0=1で極大

x=a_1=β=(a-√(a^2-4))/2
x=a_2=α=(a+√(a^2-4))/2
で極小となることがわかります。

それで問題文から極小値になるf(α)とf(β)はどうも等しいみたいやけど、それは解と係数の関係からαβ=1だから
f(α)=(α-a)^2*(1/α - a)^2
=(1/β - a)^2+(β-a)^2
=f(β)
と確かに上手いこと同じ値になってます。

090426_m3.jpg

グラフ書いてみると、y=r^2がf=(x)に接するのはx=a_0(=1)のところと
x=a_1(=β)とx=a_2(=α)
のところです。

これは同じ値やから
f(α)=r^2
を解いて
r^2=a^2-2
と思ったより綺麗な値になります。

それでr>0やから
r=√(a^2-2)の円とわかりました。

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高校数学の入試問題などの解説




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