受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

三次方程式の問題、慶應大学2009年度理工学部のA4の解説
もしよかったら工事の音を聞きながら、数学やってくれ。



慶應大学2009年度理工学部の問題A4の解説

[問題]
090427_m1.jpg
a>0とする。このとき、3次方程式
(x^3+3x)/2=a
はただ一つの実数解x(a)>0をもつ。正の数Rに対し,0<a≦Rの範囲でaを動かすとき、対応する実数解x(a)が整数となるようなaの個数をN(R)とする。
N(R)=1となるようなRの範囲は(ナ)≦R<(ニ)である。
x=u - 1/uとおき、(x^3+3x)/2をuで表すと(ヌ)である。したがって、x(a)をaを使って表せば
x(a)=(√(ネ))^(1/3)-1/(√(ネ))^(1/3) ((√(ネ))^(1/3)>0)
となる。
L=lim(R→∞)R^(-c)N(R)が有限な正の値となるのはC=(ノ)のときであり、そのときL=(ハ)である。



[解答と解説]
090427_m2.jpg

f(x)=(x^3+3x)/2とおいて、y=f(x)のグラフを考えてy=aを動かして交点を考える方針です。

なんか問題A3とかぶってるような気がするけどな。

f(x)を微分してみると
f'(x)=3(x^2+1)/2>0
からf(x)は増加関数なことがわかります。

だからグラフを書いたらy=aとの交点は一つってことがわかってるもらえると思う年頃やな。

y=aを0から上に動かしてxのとこが整数になる交点はまずf(1)=2から(1,2)。

それでさらに上に動かすと次xのとこが整数になるのはf(2)=7から(2,7)。

だからaは2以上まで動かないと、整数になるのは1個にならないし、7までいってまうと整数になるのが2個になってまうから7未満を動かなあかんわけや。

よって2≦R<7ってわかります。

こうやってグラフを書いてy=aを上下させてaの最大値はどの範囲になればいいのか考えたってくれ。


今日はこの辺で終わろか。


なんでそんな中途半端なことするねん。

x=u-1/uとおくと…ってありますが、この手の三次方程式の解き方やな。

えっと

(x^3+3x)/2=(u^3-3u+3/u-3/u^3+3u-3/u)/2
=(u^3-3/u^3)/2

だから方程式をuで表すと
(u^3-1/u^3)/2=a

u^6-2au^3-1=0

これはu^3の二次方程式やから
u=a±√(a^2+1)

090427_m3.jpg

それでx(a)の値は一つなはずやけど、uが二つの値になってるのは
その二つの解をu_1,u_2とすれば解と係数の関係から
u_1^3・u_2^3=-1

u_1・u_2=-1

これから

u_1-1/u_1=-1/u_2+u_2=u_2-1/u_2

だからx=u-1/uはどっちの値でも同じやから結局xは一つに決まるねん。

問題文からは3乗根の中が正での表し方やから

x(a)=(a+√(a^2+1))^(1/3)+1/(a+√(a^2+1))^(1/3)

090427_m4.jpg

最後にあれや。
R^(-c)N(R)の極限ですわ。

まあN(R)はようするにx(R)の整数部分のことやからR^(-c)x(R)考えたら終わりやねんけど、一応数学的にちゃんとやるには
M(R)≦x(R)<N(R)+1

x(R)-1<N(R)≦x(R)

R^(-c)(x(R)-1)<R^(-c)N(R)≦R^(-c)x(R)

これで挟みうちの原理的に解くねんけど、

左辺=R^(1/3-c)((1+√(1+1/R^2))^(1/3)+(1-√(1+1/R^2))^(1/3)-1/R^(1/3))

右辺=R^(1/3-c)((1+√(1+1/R^2))^(1/3)+(1-√(1+1/R^2))^(1/3))

これからc>1/3やとR→∞で左辺→∞でR^(-c)N(R)は∞に発散

C=1/3やとR→∞で左辺→2^(1/3),右辺→2^(1/3)
よってR^(-c)N(R)→2^(1/3)

c<1/3やとR→∞で右辺→0だからR^(-c)N(R)は0以下になってまうわけや。

だからc=1/3の時にLは有限な正の値の2^(1/3)になりました。

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