受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

三角比の問題、東京大学1962年度文理共通の第二問の解説
雨の日は雨降ってるって感じやな。

東京大学1961年度第2問文理共通の問題の解説します。

かなり昔の問題なので、解答の確認が出来んから間違ってるところあればしばいてください。

[問題]
090516_m1.jpg

△ABCにおいて∠A=90°,AB=AC=2とする。点B,Cから直線BCに関してAと同じ側に辺BCに垂直な半直線BX,CYを引く。半直線BX,辺AB,BC,CA,半直線CYの上にそれぞれ点P,Q,R,S,Tをとり,
PQ//BC,cos∠BQP/cos∠AQR=√2,∠BRQ=∠CRS,cos∠CST/cos∠ASR=√2
となるようにする。
BP=x,CT=yとするとき、xとyとの間にはどのような関係式が成り立つか。

[解答と解説]
090516_m2.jpg

もう問題文がややこしくて、わけわからんな。

こんなんは考えたらあかんねん。

とりあえずまずは図を書いていったら、わかってるって感じや。


世の中にはな…図を書きたくも書けない人がいるからな。

首に鎖つけられて先に重りをつけられてる人とか。


そういう人のためにもまず図を書きましょう。

この問題は、使う知識は中学レベルみたいな感じやけど、実際解くのは複雑で中々答えまでたどり着かないと言うほんま東大って感じです。

だから、解いてるうちにうへ~ってわけわからんことなって濡れ雑巾で隣の受験生の背中をしばき回すことのないように、一つ一つ丁寧に整理してやっていきましょう。

PQ/BCって言うのを図に書いてみると、錯覚は等しいから
∠BQP=∠ABC=45°
∠QPB=180°-∠PBC=90°
で、△PQBは∠QPB=90°の直角二等辺三角形なことがわかります。

まあ書いてると直感的にわかると思います。

と言うことは、BQ=(√2)xです。

しかしQはAB上にないといけないから、

0≦(√2)x≦2⇔0≦x≦√2…[1]

の範囲でないといけません。

090516_m3.jpg

そして∠BQP=45°から

cos∠BQP/cos∠AQR=√2

の式より

cos∠AQR=1/2より∠AQR=60°

とわかります。

と言うことは∠BQR=180°-∠AQR=120°

で三角形の内角の和は180°より
∠BRQ=180°-∠QBR-∠BQR=15°

とわかりました。

これで△BQRにおいて正弦定理より
BQ/sin15°=BR/sin120°

BR=1/sin15°・(√(3/2))x

これも点Rは辺BC上よりBCの長さは2√2だから
0≦1/sin15°・(√(3/2))x≦2√2

0≦x≦(4/√3)sin15°…[2]

であればよいわけや。

090516_m4.jpg

[1]と[2]をまとめたくなる年頃なわけやけど、それにはsin15°の値が必要でこれは
半角とかより45°-30°の加法定理が便利です。

覚えておいてください。

sin15°=sin(45°-30°)
=sin45°cos30°-cos45°sin30°
=(√3-1)/2√2

だから
4sin15°/√3=√2(1-1/√3)<√2

なので[2]の方が範囲が狭いから[2]の
0≦x≦(4/√3)sin15°=√2(1-1/√3)
だけ考えたらオッケーなことになります。


それで
∠BRQ=∠CRS
から
∠CRS=15°
とわかります。

それと
RC=BC-BR
=2√2-1/sin15°・(√(3/2))x

で∠RCS=45°だから△RSCにおいて、外角と内角の関係から

∠ASR=∠SRC+∠RCS
=15°+45°
=60°

ってわかるから
cos∠ASR=1/2で

cos∠CST/cos∠ASR=√2より

cos∠CST=1/√2とわかって、∠CST=45°とわかるから

△CSTにおいて
∠STC=180°-∠CST-∠SCT
=90°

とわかります。

090516_m5.jpg

これでまた△SRCにおいて正限定理より∠RSC=120°だから

RC/sin120°=SC/sin15°⇔SC=4√(2/3)・sin15°-√2x

これは0≦x≦(4/√3)sin15°であれば

0≦SC≦4√(2/3)・sin15°
=2(1-1/√3)<2

でAC=2だからちゃんと点Sは辺AC上にあることになっていて、ここまでわかると△STCにおいて

(√2)TC=SCより
(√2)y=4√(2/3)・sin15°-√2x

x+y=(√2)(1-1/√3)

まとめると
x+y=(√2)(1-1/√3)
0≦x≦(√2)(1-1/√3)

やけど、これは単にx≧0,y≧0やから

x+y=(√2)(1-1/√3)
x≧0,y≧0

ですが、x≧0,y≧0は当たり前なので書く必要はないかもしれません。


だからxの範囲は気にしなくてもええみたいやったけど、まあちゃんと議論するのにこしたことはないかな。
x+y=(√2)(1-1/√3)
の式が成り立っていれば、ちゃんと条件を満たしてるって言うことを示したことになるからな。

と言うことで使う知識は簡単やねんけど、処理が複雑で答えにたどりつくのが 難しいと言う東大らしい問題でした

だから何かマニアックなテクニックを覚えるんじゃなくて、まずは過去問からやって問題の解き方自体の方を覚えて欲しいわけやな。

もっと簡単な別解

高校数学の入試問題などの解説

東京大学の入試の数学の過去問の解説




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