受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

三角比の問題、東京大学1962年度文理共通の第二問の別解
前回の三角比の問題、東京大学1962年度文理共通の第二問で読者の方からいただいた別解を説明したいと思います。

こんな簡単な解き方を思いつかんかったとは、やっぱりオレもうへ~ってなってたかもしれん。

090516_m6.jpg

こんな感じや。
一回落ち着けって話や。
こういう時は、うへ~ってなってるからローラースケートでお茶を運ぶ理由がどこにあるのかとか気づかへんねん。

人間ちょっとでも気を抜いたらうへ~ってなってるねん。
いや、気をいれたらうへ~ってなるねんけどな。
だから、常に今自分はうへ~かどうか?って言うのを自分に問いかけて欲しい

ええから、はよ紹介しろ!


もっかい問題を載せると

090516_m1.jpg

△ABCにおいて∠A=90°,AB=AC=2とする。点B,Cから直線BCに関してAと同じ側に辺BCに垂直な半直線BX,CYを引く。半直線BX,辺AB,BC,CA,半直線CYの上にそれぞれ点P,Q,R,S,Tをとり,
PQ//BC,cos∠BQP/cos∠AQR=√2,∠BRQ=∠CRS,cos∠CST/cos∠ASR=√2
となるようにする。
BP=x,CT=yとするとき、xとyとの間にはどのような関係式が成り立つか。


と言う問題でしたが、これは外の媒質をA、直角三角形ABCの媒質をBするとこの問題の条件は

媒質Aに対する媒質Bの相対屈折率が√2で、半直線BX上の点Pから光を発射させてABで屈折してBCで反射してACで屈折してたどり着いた半直線CY上の点Tにたどり着いたと考えられます。

これはだから物理の光の屈折の問題が元ネタになってるわけやねんな。

090516_m7.jpg

そう考えると反射はBCについて対称な図形を書いてBCでは直進すると考えたら解きやすかったから、対称な図形を書きます。

それぞれAに対応する点をA',SをS',TをT',YをY'としてAB//A'Cから当然PからABへの入射角45°と同じ大きさの屈折角45°で光はS'から出てきてCY'上の点T'に到達します。

だからBQ=(√2)x,CS'=(√2)yでS'からBAに垂線S'Hをおろすと,
HA=(√2)yだからQH=AB-BQ-HA=2-(√2)x-(√2)y

それで、∠HQS'=60°は前回と同じように計算しておいて△QHS'が∠HQS'=60°,QHS'=90°の直角三角形だから
QHtan60°=HS'⇔(2-(√2)x-(√2)y)√3=2
⇔x+y=(√2)(1-1/√3)

と求まりました。


この解き方やと、sin15°はでないし、x,yの範囲も気にすることなく点P,Q,R,S,Tはそれぞれ半直線BX,辺AB,BC,CA,半直線CY上にあるってこともほぼ自明です。

まあごちゃごちゃと複雑に処理する能力も大切やけど、こうやって対称な図形を考えて直線にする解き方もよくある有効な解き方でかなり処理が簡単になったりするから、ぜひこの解き方も覚えてやってください。

こんなん発想思いつかんわ、じゃなくて色々なこと経験してどこかで覚えてるから発想出来るわけやしな。

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