受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

分数関数の問題、東京大学1963年度文系第三問の解説
もう浣腸しまくりやな。

東京大学文系1963年前期の第三問の解説いきます。


またまた古くて解答の確認は出来てません。

東大文系の古い問題の解説のリクエストを受けてるからなあ。

[問題]
090518_m1.jpg

f(x)=(4x-2)/(5-x)(x≠5)とするとき
(1)y=f(x)-xのグラフをかけ。
(2)f(x)-xのとりうる値の範囲を求めよ。
(3)f(x)>xとなるxの範囲を求めよ。

[解答と解説]
(1)
090518_m2.jpg

これは文系の人が見たら、ぶほー!って血吐いて倒れます。


どう考えても微分する以外に道がない。

文系専用の問題やのに。

(2)と(3)はええわ。
普通に二次方程式とかの理論で解けるからな。

これはやっぱり分数関数の微分か。
しかも漸近線も求めなあかんしな。

まあ昔のことはわからんけど文系でも数学3Cまでの知識が要求されてたんかもしれんな。

と言うよりも、オレたちが数学3Cを知らない子供たちなんかもしれんな。

ええから、はよ説明せい!
しかもおまえばりばりの理系やろ。


f(x)-x=(x^2-2x-2)/(5-x)
=(x-2)(x+1)/(5-x)

y'=(-x^2+10x-7)/(5-x)^2

どこまで文系に要求されるのか知りませんが、二階微分まで一応調べときました。

y''=-72/(x-5)^3

これで増減表は書けるけど、x=5は定義されてないから注意してください。

グラフを書くには漸近線も必要で、x=5の付近は

lim(x→5-0)(f(x)-x)=∞
lim(x→5+0)(f(x)-x)=-∞

でx=5は漸近線で

x→∞や-∞はまず傾き

lim(x→±∞)(f(x)-x)/x=-1

切片は

lim(x→±∞)(f(x)-x-(-x))=-4

だからy=-x-4が漸近線。

極大値と極小値は

f(5-2√3)=-9+6√3
f(5+2√3)=-9-6√3

これだけ調べて、グラフを書いたってください。

090518_m3.jpg

理系の問題としては、ちょっとややこしいけど普通の問題ですが文系でもここまでやらされる時代もあったわけや。


(2)
090518_m4.jpg

もうグラフ書いたら、簡単で明らかに
f(x)-x≦-9-6√2
f(x)-x≧-9+6√2

(3)これもf(x)-x>0の範囲がわかれええわけやけど、グラフから
x<-1,2<x<5

ってすぐにわかります。


ただ、数学3Cを知らない子供たちでも(2)と(3)は求めろって言われることはあります。

東大目指すなら、これくらいは簡単かもしれませんが、一応書いておくと

090518_m5.jpg

(2)は逆像法、または逆手流とか呼ばれているやり方を使って

m=(x^2-x-2)/(5-x)とおいて、xを動かすのではなく実数x(x≠5)が存在するようなmの範囲を求めたらよくて

x^2+(m-1)x-2-5m=0

これはもともと、x≠5になってるから後は解を持てばいいだけで判別式をDとすると

D≧0⇔m^2+18m+9≧0
⇔m≦-9-6√3,-9+6√3≦m

(3)はかなり普通の二次不等式の問題やけど。

(x^2-x-2)/(5-x)>0⇔
(x-2)(x+1)>0(5>x)
(x-2)(x+1)<0(5<x)

x<-1.2<x<5

(2),(3)は極端に簡単やから、やっぱり数学3Cの技術でグラフを書かせるための問題なんやろなって思いました。

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