受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

確率の問題、東京大学文系1979年度の第3問の解説
みんな今日もダッフルコート着てるかな?

そしたら、ちょっと前回までの東大の問題は古すぎたから今回は東大文系1979年度の第三問の解説をします。
ただ、実はこれ情報源が間違えてたために全然違う問題を解説してたようです。

もう記事書いてもたから東大文系1979年度の第三問の類題らしきもんやと思っててください。

解答は確認のしようがないから間違ってるとこあればしばいてください。

[問題]
090521_m1.jpg

ある硬貨を投げるとき、表と裏がおのおの確率1/2で出るものとする。この硬貨を8回繰り返して投げ、n回目の表が出ればX_n=1,表が出ればX_n=-1とし、
S_n=X_1+X_2+…+X_n(1≦n≦8)
とおく。
このとき次の確率を求めなさい。
(1)S_n≠0かつS_8=2となる確率
(2)S_4=0かつS_8=2となる確率

(本当の問題は
(1)がS_2≠0かつS_8=2となる確率)

[解答と解説]
(1)
090521_m2.jpg

よくある問題ですが、まずこんな問題が出たら、表の回数と裏の回数を求めるのがお決まりです。
表の回数をk回とすると、裏の回数は8-k回でS_8は
k-(8-k)=2k-8
になるから、これが2になるのは
2k-8=2⇔k=5
よって表は5回、裏は3回です。

S_8=2と言うことだけなら、簡単に反復試行の確率から

8_C_5(1/2)^8

やけど、S_n≠0があるとこが人に血を吐かせます。

まあこれは、一度でもS_nがマイナスの値をとると0をとれないから、ずっとマイナスになってまうからS_nは常に正ってことです。

当たり前のようですが、これは中間値の定理に見られるように結構大切な考え方やったりします。
大学でも数学を専攻すれば、連結の話とかでも出てきたりします。

まあ全部書きくだしてもええとは思うし、結局最後はそういう根性や処理能力があるかどうかって言うところを東大ではよく求められるねんけど、もっと簡単に求めるには

xy平面で、x軸に硬貨を投げた回数、y軸にS_nの値ととります。

だから

表が出るとx方向に1進み、y軸方向に1進む
裏が出るとx方向に1進み、y軸方向に-1進む

わけや。
そう考えると(8,2)にx軸に接することなく(S_n≠0ってこと)到達するような経路の個数を求めたらええってことになります。

これは実は公式があって、
A(8,2)とすると

直線OAの傾き×8_C_5=14

通りと一瞬で出てきます。


これについては階段状の道における最短距離の道のりの個数の記事を見たってください。

まあでもこんなん、説明しようがないって言うところあるし、あんま普通知らんと思うから、こんな時はもっと簡単で明解な方法があります。

これは中学受験でも習うんかなあ。

090521_m3.jpg

図のように足していけばいいだけです。
パスカルの三角形と同じ原理です。

直前の道のりの個数を足していけば、そこまでの道のりの個数になるわけです。
まあまたちゃんと別の記事で書くわ。


これを使って14通りって簡単に出したってください。
大学の先生は賢いから図さえ書いとけば大丈夫だと思います。

それで確率は

14/2^8=7/128

となります。

(本当の問題の方はS_8=0となる場合からS_2=0かつS_8=2場合を取り除けば求めやすくて
S_2=0かつS_8=2となるのは、最初の2回が表裏、裏表の2通りで最後の6回が表4回裏2回の6_C_2通りで
2×6_C_2=30通り
だからS_2≠0かつS_8=2となる場合の数は、S_8=0となる場合の数8_C_5=56通りからS_2=0かつS_8=2の場合の数30通りを引いて
56-30=26通り
よって求める確率は26/2^8=13/128
)

(2)
090521_m4.jpg

こっちの方が簡単なような気がしますが、

S_4=0からまずn=4までに表2回、裏2回
それでS_8=2やから後の4回で表3回、裏1回出ればよいわけです。

ちゃんと方程式立てて求めても構いませんが、これはさすがに明らかやからな。

これは普通に
最初の4回で表2回、裏2回出るのは4_C_2通り
最後の4回で表3回、裏1回出るのは4_C_1通りだから

4_C_2×4_C_1=24通りで

求める確率は

24/2^8=3/32

と求まります。


もちろん、(1)と同じように足してもええと思いますが。



ちなみに(1)は全部書き下すと、表○,裏を×として

○○○○○×××
○○○○×○××
○○○○××○×
○○○○×××○
○○○×○○××
○○○×○×○×
○○○×○××○
○○○××○○×
○○○××○×○
○○×○○○××
○○×○○×○×
○○×○○××○
○○×○×○○×
○○×○×○×○

の14通りです。

もはやこうやってややこしい数え上げをするしか無い問題もよくあるからこういう色々な処理方法も覚えて処理能力をつけていってください。

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