受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

平面図形の問題、東京大学1978年度の理科文科共通の第一問の解説
まあ、今日も若干あれやけど説明するか。

東京大学1978年度理科文科共通の第一問の解説。

解答の確認のしようがないから、また間違えてたら血吐く程しばいてください。

またわけわからん値になったしな。


[問題]
090525_m1.jpg

半径1の円Oの周を6等分する点を図のように順次A_1,A_2,…,A_6とする。弧A_2A_1A_6および半径OA_2,OA_6に接する円の中心をPとし、この円Pの周と線分OPの交点をBとする。線分OA_3上にOQ=PA_1をみたすように点Qを定める。Qを中心としQA_3を半径とする円周と円Pの交点のうちで、直径A_1Bに関し点A_2と同じ側にあるものをCとする。
このとき四辺形OPCQは平行四辺形であることを証明せよ。また弧A_1A_2A_3,弧A_3C,弧CBA_1によって囲まれた領域の面積を求めよ。



[解答と解説]
(1)
もう今日はしんどいから適当に説明するか。

この問題が解けるかどうかは、コンパスを持ってきたかどうかや。
なんて言うか、みんなコンパスを馬鹿にしてるやろ。

東大の募集要項にちゃんとコンパス書いてるから、買ってもっていってくれ。


ほんまちゃんと図を描くと描かないかで、問題の正答率が全然違うと思うわこれ。
まあもしかすると問題用紙に図が書いてるかもしれんけど。

この問題はかなり東大らしい問題で、知識的には中学生でも解けるレベルや。
ただ、複雑で答えを出すのにはかなりの実力がいるねん。

だから、この複雑な処理の仕方自体を覚えていってくれ。


問題文を読むと半径OA_2,OA_6に接する円って言うのが意味がわかりにくいですが、これは要するに線分OA_2,OA_6に接するってことです。
なんでこんな書き方したんやろな。

とにかく図を描いてみると

090525_m2.jpg

円Pは円Oに点A_1で接するのは、自明でいいのか説明すべきか判断が難しいところです。

一応説明を書いておくと

円Pは半径OA_2,OA_6に接するから∠A_2OA_6の二等分線上にあります。
それでこの二等分線と円Oとの交点はA_1であることに注意しておいて、

円Pと円Oとの接点をDとすると直線PDと直線ODは一致するから、3点O,P.Dは同一直線上にあってD=A_1になります。


090525_m3.jpg

四辺形OPCQが平行四辺形であることは、意外と簡単で二つの対辺の長さが等しいことを言えばよくて
円Pの半径をrとすると
PC=r
OQ=PA_1=r
でまずPC=OQが示せて

OP=OA-PA_1=1-r
QC=QA_3=OA_3-OQ=1-r
でOP=QCで平行四辺形であることが言えました。


それで弧A_1A_2A_3,弧A_3C,弧CBA_1によって囲まれた領域の面積を求めるには、rを求める必要があって、これは書くA_1OA_2=60°で円Pと半径OA_2の接点をHとすると△PHOが∠POH=60°,∠PHO=90°の直角三角形だから
OPsin60°=PH

((1-r)√3)/2=r

r=√3(2-√3)

って出てきます。


面積を求めるには角が大切になりそうやから平行四辺形の角も求めておいて


∠CPO=180°-∠POQ
=180°-∠A_1OA_3
=180°-120°
=60°

これで勾玉みたいな図形の面積をどうやって求めるかと言うと

090525_m4.jpg

勾玉=一反木綿+パックマン

と言うように図で説明して考えます。


こういうやり方が、考え方が大切やねん。

パックマンはさっき∠CPO=60°を求めたから、半径r、中心角240°の扇形でπr^2×2/3ってわかります。

一反木綿の部分は

おっきい方の扇形-ちっさい方の扇形-平行四辺形

になってるねん。
こういう風に絵で考えるのがコツなわけやねんな。

おっきい方の扇形は半径1、中心角120°やからπ/3

ちっさい方の扇形は半径1-r、中心角120°やからπ(1-r)^2/3

平行四辺形は辺の長さがrと1-rとなす角度が60°からr(1-r)sin60°

後はややこしい計算をしてまとめると勾玉の面積は

(15-8√3)π/3+3(4√3-7)

になりました。

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