受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

定点を通る問題、東京大学1978年度文系第二問の解説
今日も1978年代にタイムスリップ。
うへ~。

またおかしいところがあったらしばいてください。
東京大学1978年度文系第二問の解説
[問題]
090528_m1.jpg

二つの放物線y=x^2-2x+2…(1),y=-x^2+ax+b…(2)は、それらの交点の一つPで、接線が互いに直交しているものとする。このとき、放物線(2)は,a,bの値に無関係な一定の点Qを通ることを証明し、Qの座標を求めよ。


[解答と解説]
090528_m2.jpg

まずPのx座標をだすために(1)(2)からy消去してみると
x^2-2x+2=-x^2+ax+b

2x^2-(2+a)x+2-b=0

この判別式をDとすると解を持つには
D=(2+a)^2-4・(2-b)・2≧0

a^2+4a+8b-12≧0

でないとあかんけど、このxの値を出すのは式がややこしくなりそうやから、これはひとまずよくあるやり方やけど解の一つをαと置いて、αは

2α^2-(2+a)α+2-b=0

が成り立つ実数であるとしておきます。


それで次にそれぞれ微分すると
(x^2-2x+2)'=2x-2
(-x^2+ax+b)'=-2x+a
やから、

(1)と(2)がx=αで直交する⇔
(2α-2)(-2α+a)=-1⇔
-4α^2+(2a+4)α-2a+1=0

なわけやけど、αはどんな値やったかと言うと

2α^2-(2+a)α+2-b=0

が成り立つ値やから、よくあるがの

α^2=((2+a)α-2+b)/2

と変形して左辺はα^2で、右辺はαの式でこれで次数が下げられるわけやな。
-4α^2+(2a+4)α-2a+1=0に代入すると

-2((2+a)α-2+b)+(2a+4)α-2a+1=0

a=5/2-b

とαが消えるやないか!

αが消えるやないか!

αが消えるやない…

αが消え…


もうええって。

つまり、直交する条件はa=5/2-bであると言う条件だけ考えたら良いことになります。

090528_m3.jpg

まとめると

a^2+4a+8b-12≧0
a=5/2-b

であればええねんけど、a^2+4a+8b-12≧0にa=5/2-bを代入すると

(b-1/2)^2+4≧0

で全ての実数bで成立することになるから

a=5/2-b

だけ考えたらええことになります。


後は(2)がどんなbに対しても定点を通ることを示したらいいわけですが、こういう定点を通ることを示す問題の定石にしたがって、
まずaを消去して1パラーメーターにして

y=-x^2+(5/2-b)x+b

bについて整理して

(1-x)b-x^2+5x/2-y=0

これでbの係数が0,定数部分が0になればどんなbに対してもこの方程式は成立するから

1-x=0
-x^2+5x/2-y=0

x=1,y=3/2

つまり、どんなbに対しても(2)は(1,3/2)を通ることになります。

高校数学の入試問題などの解説

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