受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

接線と面積の問題、東京大学1978年度文系第四問の解説
とりあえずビニール袋を頭にかぶってくれ。

東京大学1978年文系第4問の解説。
また間違えてるとこあったらしばいてくれ。

[問題]
090529_m1.jpg

xy平面で点P(-3,6)を通り、曲線y=x^3-5x^2+x+9…(1)に接する直線のうち、接点のx座標がx≧0みたすものをPQ,PRとする。ただしこれらの直線は点Q,Rにおいて曲線(1)に接するものとする。このとき曲線(1)の点Qから点Rまでの部分と、線分PQ、線分PRで囲まれた領域の面積を求めよ、



[解答と解説]
090529_m2.jpg

東大にしては文系ってこともあるけど。かなりやりやすい問題ですがただ式がややこしくなりそうなことをやるとこがポイントかな。
東大はややこしくなるもんやからな。

曲線(1)上の点T(t,t^3-5t^2+t+9)における接線がP(-3,6)を通るとすると

PTの傾き=点Tの接線の傾き

という方程式をたてます。

(1)を微分して

y'=3x^2-10x+1

だから

(t^3-5t^2+9-6)/(t-(-3))=3t^2-10t+1

これがなんかややこしい式やけど、ほんまにこんなん計算するんか?って血吐きそうやけど、まだ血吐くには早いわけや。

整理してみると

t(t+5)(t-3)=0

ってかなり単純な式になって

t=0,-5,3

ってわかるねん。

後は接点はx≧0を考えてたらx=0,3での接線を考えたらよくて

Q(0,9),R(3,-6)ってわかるわけや。

まあどっちがQかRの指定がないから、どっちでもええねんけど。

面積を求めるにはまず直線PRを求めて
y=-2x

(1)の増減表を書いてグラフを書いて、直線PRと直線PQを書き込みます。

090529_m3.jpg

図の斜線部になってます。

090529_m4.jpg

後は面積を求めるだけで、左側の三角形と右側の曲線部分にわけて

左側の三角形の面積は1/2×9×3=27/2

右側は積分を計算して

∫(0,3)(x^3-5x^2+9-(-2x))dx
=∫(0,3)(x-3)^2(x+1)dx

x=3で接するから因数分解できます。
x-3で積分すると楽そうだから

=∫(0,3)(x-3)^2(x-3+4)dx
=∫(0,3){(x-3)^3*4(x-3)^2}dx
=[(x-3)^4/4+4(x-3)^3/3](0,3)
=-81/4+36

別にもっと普通に積分してもそんな労力かわらんかもしれんけどな。


だから求める面積は

27/2-81/4+36=117/4

ってわかりました。


あいかわらず人を不安にさせる数字やなこれ。

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