受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

3次以上の整式の因数分解のやり方(高次方程式の解き方)
3次以上の整式の因数分解について、今日は説明したい思います。
3次以上の方程式の解き方でもあるけど。

基本的にどうやって因数分解するかと言うと

f(x)=ax^3+bx^2+cx+d

と言う三次式があったとして

f(α)=0

となるαが存在すれば因数定理からf(x)は(x-α)の形を因数に持ちます。


だから後はf(x)を(x-a)で割り算して商Q(x)をだして

f(x)=Q(x)(x-a)

って因数分解されます。


この割り算は暗算でやってもいいし、組み立て除法とかもあるねんけど、今日はその話じゃなくてf(α)=0となるαの見つけ方の話をします。

これ学校でみんな教えてもらってると思っててんけど、意外にも教えられてない人がおったりしたからな。


具体的にどうやるかと言うと

「係数が整数のxのn次式では
x=(定数部分の約数)/(x^nの係数の約数)
を入れてみて0になるかをまず調べる。

もし、0になるものがないなら有理数の範囲では一次の因数を持たない(有理数の解を持たない)」


5x^3+11x^2+12x+2
なら、x=1,-1,2,-2,1/5,-1/5,2/5,-2/5を入れてみるとx=-1/5で0になるから
(x^2+2x+2)(5x+1)
って因数分解できる。
(3次方程式5x^3+11x^2+12x+2=0はx=-1/5を解に持つ)

x^3+x^2+x+2
なら、x=1,-1,2,-2のどれをいれても0にならないから有理数の範囲で一次の因数は持たない。
(3次方程式x^3+x^2+x+2=0は有理数の解を持たない)

説明していくと、まずx^3の係数が1で、他の係数が全部整数の3次式の因数分解を考えます。

P(x)=x^3+ax^2+bx+c

(a,b,cは整数)

それでこれが、有理数の範囲で(x-α)の形の因数を持つとすると

P(x)=(x^2+dx+e)(x-f)

(d,e,fは整数)

ってなるわけやん。
これを展開すると定数部分は-feやろ。

また
P(x)=x^3+ax^2+bx+c
の定数部分はcやから

c=-fe

なわけや。

と言うことは、fはcの約数やねん。

今の約数の意味はプラスとマイナス両方含めてることに注意してな。

だから12の約数は1,-1,2,-2,3,-3,4,-4,6,-6,12,-12ってことやで。

まあ単に約数と言えば正の約数のことを言うてることが多いねんけど。


だからP(x)が有理数の範囲で(x-α)の形の因数を持つなら、そのαは定数部分cの約数しかありえないねん。

だから例えば

P(x)=x^3+ax^2+bx+4

って式ならxに1,-1,2,-2,4,-4を入れて,x=2でP(x)が0になれば(x-2)で因数分解できるけど、どれも0にならないなら、有理数の範囲では(x-α)の形の因数は持たへんねん。

ただ因数が一次でないなら有理数の範囲で因数分解できる場合はあって例えば4次式で
x^4+x^3+4x^2+3x+3=(x^2+x+1)(x^2+3)
って言うような因数分解出来る可能性はあるねんけどな。


だから3次以上も同じで因数分解する時は、まずは定数部分の約数を入れていったらええわけやねん。
それがなければとりあえず、有理数の範囲では(x-α)の因数を持たないわけや。
無理数の範囲ではx^3-2とかは(x-2^(1/3))とか因数を持つけどどな。



それで、もう少し一般的にx^3の係数が1でない場合はどうするかって考えると

P(x)=ax^3+bx^2+cx+d

って式が有理数の範囲で一次の因数を持つとすると

P(x)=(ex^2+fx+g)(hx+i)

で定数部分はgi,x^3の係数はehなわけです。

それで
P(x)=ax^3+bx^2+cx+d

は定数部分はd,x^3の係数はa。

だから
d=gi
a=eh

よりhはx^3の係数の約数、iはdの係数の約数になるねん。

だから(hx+i)の因数を持つ⇔x=-i/hを入れるとP(x)が0になる

から
x=(定数部分の約数)/(x^3の係数の約数)
を代入したらP(x)=0になればそれで一次の因数をもって、これでP(x)=0にならないなら有理数の範囲では一次の因数分解できへんってことです。

例えば
P(x)=2x^3+ax^2+bx+3

ならx=1,-1,3,-3,1/2,-1/2,3/2,-3/2
を入れてみて例えば-3/2で0になったら(3x+2)を因数に持つわけで、どれも0にならないなら有理数の範囲では一次の因数を持たないわけやねん。


同様に考えてxのn次式の場合は

x=(定数部分の約数)/(x^nの係数の係数)

やな。

だから、因数分解するときはまずは
x=(定数部分の約数)/(x^nの係数の係数)
を入れて調べてみて、もし0にならないようなら有理数の範囲では1次の因数は持たないってことがわかります。

もっとn次の式で一般的にちゃんと証明できます。
整数問題でよく使うパターンで証明方法覚えておいたら、力になります。
整数係数のn次方程式
a_nx^n+a_(n-1)x^(n-1)+…+a_0=0
の有理数解を持つならば、q/p(p,qは互いの素な整数,pはa_nの約数,qはa_0の約数)であらわされることを証明する。
有理数解q/p代入して
a_n(q/p)^n+a_(n-1)(q/p)^(n-1)+…+a_0=0
p^nをかけて
a_0p^n=-q(a_nq^(n-1)+a_(n-1)q^(n-2)p+…+a_1p^(n-1))
pとqは互いに素より、qはa_0の約数。
同様にして
a_n(q/p)^n+a_(n-1)(q/p)^(n-1)+…+a_0=0
p^nをかけて
a_nq^n=-p(a_(n-1)q^(n-1)+a_(n-2)q^(n-2)p+…+a_0p^(n-1))
pとqは互いに素より、pはa_nの約数。


高校数学の公式や問題の解説




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