受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

確率の問題、東京大学2005年度理系第5問文系第四問の解説
今日も東大の問題いっとくか?

よっしゃいっとこか。

東京大学2005年度理系第五問文系第四問共通の問題の解説



[問題]
Nを1以上の整数とする。数字1,2,…,Nが書かれたカードを1枚ずつ、計N枚用意し、甲、乙のふたりが次の手順でゲームを行う。

(i)甲が1枚カードをひく。そのカードに書かれた数をaとする。ひいたカードはもとに戻す。

(ii)甲はもう1回カードをひくかどうかを選択する。ひいた場合は、そのカードに書かれた数をbとする。ひいたカードはもとに戻す。ひかなかった場合は、b=0とする。
a+b>Nの場合は乙の勝ちとし、ゲームは終了する。

(iii)a+b≦Nの場合は、乙が1枚カードをひく。そのカードに書かれた数をcとする。ひいたカードはもとに戻す。a+b<cの場合は乙の勝ちとし、ゲームは終了する。

(iv)a+b≧cの場合は、乙はもう1回カードをひく。そのカードに書かれた数をdとする。a+b<c+d≦Nの場合は乙の勝ちとし、それ以外の場合は甲の勝ちとする。

(ii)の段階で、甲にとってどちらの選択が有利であるかを、aの値に応じて考える。

以下の問いに答えよ。

(1)甲が2回目にカードをひかないことにしたとき、甲の勝つ確率をaを用いて表せ。

(2)甲が2回目にカードをひくことにしたとき、甲の勝つ確率をaを用いて表せ。

ただし、各カードがひかれる確率は等しいものとする。


[解答と解説]
(1)
確率の問題は、まずは余事象はどうか?って選択肢として考えて欲しいですが、これも乙が勝つ確率が求めやすそうです。

だから乙の勝つ確率を求めてみます。


乙が勝つのは

(i)乙が一回カードをひいて勝つ場合、つまりa<c

(ii)乙が二回カードをひいて勝つ場合、つまりa≧cかつa<c+d≦N

の二つの場合があって、これらは同時に起こらない、業界用語で言うと排反事象だから、それぞれ確率を求めて足したらオッケーです。

090610_m1.jpg

(i)a<cの時

cがとりえるのは
c=a+1,a+2,…,N
のN-(a+1)+1=N-a個です。

だから確率は

(N-a)/N

(ii)a≧cかつa<c+d≦Nの時

cがとりえるのは
c=1,2,…,a
でc=k(k=1,2,…,a)であった時を考えるとc=kとなるのは1/Nで
a<k+d≦Nになるdは
d=a-k+1,a-k+2,…,N-k

N-k-(a-k+1)+1=N-a個です。

だから確率は

Σ(k=1~a)1/N×(N-a)/N=a(N-a)/N^2

です。
まあΣとか使うのは大げさで単にkが1の場合2の場合…aの場合のa個あるからa倍ってことだけやねんけどな。

よって甲の勝つ確率は

1-(N-a)/N-a(N-a)/N^2=a^2/N^2

です。


(2)
これも乙が勝つ確率を求めたらええんかな?って

まずa+b>Nになるのがb=N-a+1,N-a+2,…,NのN-(N-a+1)+1=a個で確率はa/N

a+b≦Nになるのはb=1,2,…,N-a
でb=k(k=1,2,…,N-a)の時、b=kとなるのは確率1/Nで
a+k<cとなるのは
c=a+k+1,a+k+2,…,N
のN-(a+k+1)+1=N-a-k個で確率は
(N-a-k)/N

a+k≧cかつa+k<c+d≦Nになるのはc=j(j=1,2,…,a+k)の時
d=a+k-j+1,a+k-j+2,…,N-j
のN-j-(a+k-j+1)+1=N-a-k個

だから確率は

(a+k)(N-a-k)/N^2

で乙の勝つ確率は

a/N+1/N×Σ(k=1~N-a){(a+k)(N-a-k)/N^2+(N-a-k)/N}
=…

って計算してると

090610_m2.jpg

ぶほー!

なります。

いや、別にこれで根性で求まります。

実はオレも計算してお茶飲んでたら血吐いた男の一人なんや。

ええからはよ説明しろ!

答えは
(N-a)(2N^2+2aN+3N+2a^2+3a+1)/6N^3

まあ東大なら、やりかねない計算量であることはあります。

これくらいの計算力があったらやっぱり東大に強いと思いますが、この問題は(1)を用いるとだいぶん簡単になります。

090610_m3.jpg

まずa+b≦Nでないと甲は負けるわけで、こうなるのはb=1,2,…,N-aで
b=k(k=1,2,…,N-a)になる確率は1/Nで

甲がaの時、甲が勝つ確率は(1)よりa^2/N^2だったから

甲がa+kの時、甲が勝つ確率は(1)より(a+k)^2/N^2なわけです。

後はk=1~N-aまでたしあげたらよくて

1/N×Σ(k=1~N-a)(a+k)^2/N^2=…
=(N-a)(2N^2+2aN+3N+2a^2+3a+1)/6N^3


しかしこれが思いつかないなら最初のわけわからん計算をぶーわーやっとけば、やり方あってるから途中で計算間違いしたとしても部分点がかなり入ると思うし結局早くて点がとれる可能性は高いと思います。

方法が少々まずくても、早くやってしまった方が結果が良いことがある。

数学がいくらできても、こういう戦略が出来ないと点がなかなかとれないことになるから、注意しといたいてください。

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