受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

因数定理の問題、京都大学2006年度理系第一問文系第三問の文理共通の問題の解説
まさると遊びたい気分や、うへ~。

京都大学2006年度の理系第一問、文系第三問の整式の問題を解説したい思います。


[問題]
090626_m1.jpg

Q(x)を2次式とする。整式P(x)はQ(x)では割り切れないが、{P(x)}^2はQ(x)で割り切れるという。このとき2次方程式Q(x)=0は重解をもつことを示せ。

[解答と解説]
090626_m2.jpg

当たり前のようやけど、それをどう説明するか?って感じの問題です。
条件を整理して正しく因数定理を使わないと、出来たつもりでも密かに路地で血吐いてることになります。

条件は

○Q(x)は2次式
○P(x)はQ(x)では割り切れない
○{P(x)}^2はQ(x)で割り切れる

の三つで,まず解いてみるとわかるねんけど、

Q(x)=0は2次式⇔Q(x)=a(x-α)(x-β)(a≠0)

と一般的にやってしまうと{P(x)}^2はQ(x)で割り切れるの条件がちょっと使いにくくなります。

と言うのは

P(x)が(x-α)で割り切れる

P(α)=0

の因数定理と

P(x)が(x-α)^2で割り切れる

P(α)=0,P'(α)=0

の因数定理の2乗版みたいな定理がありますが


α≠βの時は

{P(x)}^2が(x-α)と(x-β)で割り切れる

{P(α)}^2=0,{P(β)}^2=0
⇔P(α)=0,P(β)=0

α=βの場合は{P(x)}^2の微分は2P(x)P'(x)だから

{P(x)}^2が(x-α)^2で割り切れる

{P(α)}^2=0,2P(α)P'(α)=0

P(α)=0

と場合分けしてちゃんと書かなあかんから大変です。


だからα≠βと先に仮定してから矛盾を導くと、すっきりかけます。

○Q(x)が2次式である

と言う条件のとこで

Q(x)が重解を持たないと仮定すると
Q(x)=a(x-α)(x-β)(a≠0,α≠β)

とおいて

○{P(x)}^2はQ(x)で割り切れる

の条件から因数定理を使って

{P(x)}^2はQ(x)で割り切れる

{P(x)}^2は(x-α)と(x-α)で割り切れる

{P(α)}^2=0,{P(β)}^2=0

P(α)=0,P(β)=0

P(x)は(x-α)と(x-β)で割り切れる

P(x)はQ(x)で割り切れる。

ここで

○P(x)はQ(x)では割り切れない

の条件を使って矛盾と言えて、α≠βであってQ(x)は重解を持つってことが言えます。

京都大学の入試の数学の過去問の解説

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