今からxの2次以上の整式f(x)が(x-α)^2で割り切れる条件を説明したい思います。

因数定理から

f(x)が(x-α)で割り切れる⇔f(α)=0

は知ってのとおりですが、このx-αの二乗の

f(x)が(x-α)^2で割り切れる

の必要十分な条件がたまに忘れられてるような気がします。


結論から言えば

f(x)が(x-α)^2で割り切れる
⇔
f(α)=0,f'(α)=0

です。


割り算の問題やのに微分！？うへ～ってなりそうですが、とりあえず説明させてください。
僕に説明するチャンスをください。
足の指でも何でも舐めるから。

イメージを掴んでもらえたらなって言う趣旨で証明方法はぐちゅぐちゅになってます。



x-α=tとおくとf(x)=f(t+α)はtの整式になります。
だから
f(x)=f(t+α)=a_nt^n+…+a_2t^2+a_1t+a_0

とおけます。
(a_0,a_1,…,a_nは定数)

この式からf(x)が(x-α)^2=t^2で割り切れる必要十分な条件は
tの係数a_1が0
定数a_0が0
であることがわかります。

まず定数a_0はt=0での値で
a_0=f(0+α)
やから
f(α)=0
であれば良いことがわかります。

一次のtの係数が出てくるのはtで微分したら定数部分になりました。
こういう一次の係数って言う所から微分って言うのが出てくるわけやねんな。

それでt(=x-α)で微分するのとxで微分するのは一緒やったからxでf(x)を微分すると

df(x)/dx=df(t+α)/dt=na_nt^(n-1)+…+2a_2t+a_1

よって定数a_1はt=0での値で
a_1=f'(0+α)
やから
f'(α)=0

であればよい。

これで

f(x)が(x-α)^2で割り切れる
⇔
f(α)=0,f'(α)=0

がたぶん雰囲気がわかってもらえと思います。

f(x)=a_n(x-α)^n+a_(n-1)x^(n-1)+…a_2(x-α)^2+a_1(x-α)+a_0

ってx-αの多項式と考えて、

定数部分が0⇔f(α)
一次の係数が0⇔f'(α)=0

と言う意味です。




これはグラフで考えるとy=f(x)のn次関数を考えると、f'(α)=0,f(α)=0はx=αでx軸に接する条件になってます。
f'(α)=0はx=αでの接線の傾きが0
f(α)=0は(α,0)を通る
やな。

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