受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

空間ベクトルの二つの線分が交点を持つ条件、京都大学2006年度理系前期第2問の解説
たかしを返してくれ~うへ~。

そういうことで京都大学2006年度理系前期第2問の解説したい思います。


[問題]
090628_m1.jpg
点Oを原点とする座標空間の3点をA(0,1,2),B(2,3,0),P(5+t,9+2t,5+3t)とする。線分OPと線分ABが交点を持つような実数tが存在することを示せ。またそのとき、交点の座標を求めよ。


[解答と解説]
チャート式みたいな問題やなこれは。
こういう問題を京大の理系で出すことに試験として意味があるのかどうかは知らんけど、ベクトルを勉強するために解き方を覚えるのにええって感じですわ。

090628_m2.jpg

簡単な問題ではありますがその分、正確に論理的に書くことが要求されているかもしれなくて解けたつもりでも意外と点数がないってことにもしかするとなるかもしれんから注意してください。

線分OPと線分ABが交点Qを持つ条件は
OQ→=sOP→(0≦s≦1)
AQ→=uAB→(0≦u≦1)
となる実数s,t,uが存在することです。

線分なので0≦s≦1,0≦u≦1って範囲を忘れないでください。

こういう実数s,t,uが存在すれば交点を持つわけで、

「存在する」

って言うことを証明する一つの方法は

「実際に求める」

です。


OQ→=sOP→
=(5s+ts,9s+2ts,5s+3ts)

AQ→=uAB→

OQ→-OA→=u(OB→-OA→)

OQ→(2u,2u+1,-2u+2)

だから二つの式から座標を比べて

2u=5s+ts
2u+1=9s+2ts
-2u+2=5s+3ts

090628_m3.jpg

これを解くと
(s,t,u)=(1/3,-1,2/3)

でこれは0≦s≦1,0≦u≦1を満たしていて線分OPと線分ABが交点を持つには、実際にt=-1であればよいから線分OPと線分ABが交点を持つようなtが存在することが言えました。

最後に座標はOQ→を求めるだけで
Q(4/3,7/3,2/3)
です。

京都大学の入試の数学の過去問の解説

高校数学の入試問題などの解説




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