受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

原点対称な関数の積分の問題、京都大学2006年度理系第3問文系第4問の文理共通の解説
うんこする前に解説しとこか。

京都大学2006年度前期の理系第3問文系第4問の文理共通問題の解説です

[問題]
090628_m4.jpg

関数y=f(x)のグラフは、座標平面で原点に関して点対称である。さらにこのグラフのx≦0の部分は、軸がy軸に平行で、点(-1/2,1/4)を頂点とし、原点を通る放物線と一致している。このときx=-1におけるこの関数の接線とこの関数のグラフによって囲まれる図形の面積を求めよ。



[解答と解説]
全然難しくはないですが、一つ言うなら原点対称がちょっと珍しいぐらいやと思う。
後はもう積分の問題によくあるパターンやな。

090628_m5.jpg

関数はx≦0の部分は、軸がy軸に平行で、点(-1/2,1/4)を頂点とし、原点を通る放物線と一致していると言うことで

軸がy軸に平行で、点(-1/2,1/4)を頂点とする放物線から

f(x)=a(x+1/2)^2+1/4(a≠0)

とおけます。これが原点を通から

0=a/4+1/4⇔a=-1

ってaの値が求まります。


これでx≦0の部分は

f(x)=-(x+1/2)^2+1/4
=-x^2-x

って求まりました。

x≧0の部分はこれを原点について対称移動したグラフなわけやから
xを-xへ、yを-yへ置き換えたらよくて

f(x)=(-(-x)^2-(-x))
=x^2-x

と求まります。

090628_m6.jpg

x=-1における接線を求めなあかんから、x≦0の部分を微分して

f'(x)=-2x-1
やからx=-1における接線は

y=f'(-1)(x+1)+f(0)
=x+1

積分するためにf(x)のx≧0の部分との交点を求めておいて

x+1=x^2-x

x^2-2x-1=0

x≧0からx=1+√2

090628_m7.jpg

グラフを書いて後は積分をするだけや。

∫(-1,0)(x+1-f(x))dx+∫(0,1+√2)(x+1-f(x))dx

=∫(-1,0)(x+1)^2dx+∫(0,1+√2)(-x^2+2x+1)dx

で、なんやかんやで

2+(4√2)/3

になります。

京都大学の入試の数学の過去問の解説

高校数学の入試問題などの解説




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