受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

素数の問題、京都大学2006年度理系前期第4問の解説
ちょっとポスター貼ってきて。

そしたら、京都大学2006年度前期理系の第4問の解説をしよか。


[問題]
090628_m8.jpg

2以上の自然数nに対し、nとn^2+2がともに素数になるのはn=3の場合に限ることを示せ。


[解答と解説]
さすが、京大。
めっちゃええ問題だすな。

数学に必要とされる思考を身につけてるかどうかはっきり分かれるようになってる問題です。

ただしそれは先天的なセンスではなくてこういう考え方をするって言うパターンを覚えてるかどうかやから、出来なかった人は何も気にせずに覚えてください。


こういう問題が出ると、n=1,2,3,4,…

って代入していってみるのがコツです。
まあnが素数の時だけを入れてもええねんけどな。

090628_m9.jpg

すると
n=2の時はn^2+2=6
n=3の時はn^2+2=11
n=4の時はn^2+2=18
n=5の時はn^2+2=27
n=6の時はn^2+2=38
n=7の時はn^2+2=51
n=8の時はn^2+2=66
n=9の時はn^2+2=83


なんか妙に3の倍数になるものが多いような気がするな。

n=2の時はn^2+2=6
n=4の時はn^2+2=18
n=5の時はn^2+2=27
n=7の時はn^2+2=51
n=8の時はn^2+2=66

と言うより、nが3の倍数じゃない時n^2+2は3の倍数ちゃうんかこれって予想が立つわけや。

じゃあnが3の倍数の時は…ってよう考えたら、nが3の倍数の時点でnが素数なのはn=3の時だけやからn=3の時にn^2+2=11で両方素数になってるとわかります。

こうやってnに具体的に値を入れていって予想をたてて、それを証明するのがコツやねん。
京大ではこの手の問題が多くて、この解き方を覚えておけばばっちり京大対策になると思います。

解答はほぼこの予想の通りで

090628_m10.jpg

(i)nが3の倍数の時
nが素数になるのはn=3の場合だけで、この時n^2+2=11でこれは素数。

(ii)nが3の倍数でない時
nは2以上やから
n=3m±1(mは自然数)
とおけます。

3を法とした合同式を使ってええねんけど、大した計算違うから別にこれでええんちゃうかな。

n^2+2=(3m±1)^2+2
=9m^2±6m+3
=3(3m^2±2m+1)
(複号同順)

で(m^2±2m+1)が2以上であれば3(m^2±2m+1)が素数でないと言えるから

3m^2±2m+1=m(3m±2)+1≧2
(m=1の時が最小)

でn^2+2は素数でないと言えました。

(i)(ii)からnとn^2+2が両方素数なるのはn=3の場合だけって言えました。

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