受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

微分積分の問題、京都大学2006年度理系第六問の解説
さあ、どてらしていこか。


だからそれ、どういう意味やねん

京都大学2006年前期理系第6問の解説

[問題]
090701_m1.jpg
0<α<π/2として、関数Fを
F(Θ)=∫(0,Θ)xcos(x+α)dx
で定める。Θが[0,π/2]の範囲を動くとき、Fの最大値を求めよ。


[解答と解説]
ただ単に、数学3Cを勉強したか?って言うだけの問題でめちゃめちゃ簡単です。
現役の人で数学3Cまで出来ていない人がたまにいるからな。

どこの大学でもそうですが、数学3Cは楽に点数稼げるのでしっかり練習しておいでください。
逆に言えば、数学3Cが出来ないと命取りに可能性があります

090701_m2.jpg

最大値を求めろってことはΘでF(Θ)を微分したらええわけやけど、
F(Θ)=∫(0,Θ)xcos(x+α)dx
この積分の形から、F'(Θ)=Θcos(Θ+α)でした。

ここれで正負にかかわりそうなのは、cos(Θ+α)のとこで
Θが[0,π/2]の範囲を動くから
α≦Θ+α≦π/2+α
でΘ+αは[α,π/2+α]の範囲を動くわけですが、αは0<α<π/2の定数で、π/2+αはπ/2<π/2+α<πの定数だから、
α<Θ+α<π/2でcos(Θ+α)は正
Θ+α=π/2⇔Θ=π/2-αでcos(Θ+α)=0
π/2<Θ+α<πでcos(Θ+α)は負

で増減表を書くとΘ=π/2-αで最大になるから

最大値は

F(π/2-α)=∫(0,π/2-α)xcos(x+α)dx

部分積分してxの方を微分して消したら良さそうでs

=[xsin(x+α)](0,π/2-α)-∫(0,π/2-α)sin(x+α)dx
=π/2-α-[-cos(x+α)](0,π/2-α)
=π/2-α-cosα

京都大学の入試の数学の過去問の解説

高校数学の入試問題などの解説




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