受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

1点で交わる問題、京都大学2006年度前期文系第1問の解説
とりあえず麻薬性鎮痛剤でもうってから始めるか。


京都大学2006年度文系第一問の解説です。

[問題]
090701_m3.jpg

放物線C:y=x^2と2直線l_1:y=px-1,l_2:y=-x-p+4は1点で交わるという。
このとき実数pの値を求めよ。

[解答と解説]
1点で交わる?
これはどの2つのグラフも1点でしか交わっていないのか、3つのグラフが1点で交わってるところがあると言うの意味なのかちょっとわかりかねるところがあります。

とりあえず、これは3つのグラフが1点で交わってるところがあると意味です。
そもそもどの2つのグラフも1点でしか交わってないと言う意味なら、二つの直線が放物線に同じ点で接してることになって、二つの直線は一致しなければなりませんがそんなpは存在しないし一致してしまったらその二つの直線は共有点が無限個になるからな。

090701_m4.jpg

こんな絵書く暇あったら説明しろって感じやけどな。


090701_m5.jpg

放物線と直線の共有点を考えると、点が二つ出てきたり、2次方程式になったりで話がややこしいです。
しかし2つの直線の交点は一つに決まって、それがy=x^2の上にあるとすればやりやすそうです。

だから
y=px-1

y=-x-p+4
を連立して解いたらええんけど、y消去して
px-1=-x-p+4

(p+1)x=-p+5

ここで注意して欲しいのがp+1で割ることです。
p+1≠0であることを断らないと、割ることは出来ません。
だからp+1=0の時と場合分けしたりもするんですが、この式はp+1=0はありえないからそれを書きます。

p+1=0⇔p=-1とすると
左辺=0
右辺=6
となり不適。
よってp+1≠0

これで
x=(-p+5)/(p+1)
とx座標が求まってy=px-1にでも代入してy座標も求めると
y=(-p^2+4p-1)/(p+1)

これがy=x^2上の点であれば1点で交わることになるから、

(-p^2+4p-1)/(p+1)={(-p+5)/(p+1)}^2

(p+1)(-p^2+4p-5)=(-p+5)^2

p^3-2^2-13p+26=0

これを解くには26の約数は±の1,2,13,26で有理数の範囲の解はこれらしかありえないけど、まず±13や±26ってことは3乗するの大変やから無さそうな気がするし、±1ではなんかp^3-2^2-13pが26くらいの大きさにはならなそうやから、p=2をいれてみます。
そしたら0になるから因数分解できて

(p-2)(p^2-13)=0
よって
p=2.±√13
ってわかります。

京都大学の入試の数学の過去問の解説

高校数学の入試問題などの解説




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