受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

空間ベクトルの対称な点を求める問題、京都大学2006年度前期文系第二問の解説
カレー食べすぎてお腹いたいわ。

京都大学2006年前期文系第2問の解説


[問題]
座標空間に4点A(2,1,0),B(1,0,1),C(0,1,2),D(1,3,7)がある。3点A,B,Cを通る平面に関して点Dと対称な点をEとするとき、点Eの座標を求めよ。


[解答と解説]
090702_m1.jpg

空間ベクトルのかなり定石的な解法が身についてるかどうかって言う問題です。

ベクトルのよくある問題を解けるように覚えておけばええと思います。

ベクトルは一つ一つ条件を数式化していくのがお決まりやねんな。


点Dが平面ABCに関して点Dと対称な点がE

と言う条件は二つの条件で表せて

平面ABC⊥DE
線分DEの中点が平面ABC上

の二つです。

これをベクトルで数式していくねん。

と言うことで点E(x,y,z)とおいて

平面ABC⊥DE

は平面ABC上の二つの一次独立なベクトルAB→,AC→をとって
AB→⊥DE→,AC→⊥DE→
その一次独立な二つのベクトルとDEが垂直やったからよかったから
AB→・DE→=0
AC→・DE→=0

これを計算すると
x+y-z=-3
x-z=-6

とわかります。


もう一つ線分DEの中点が平面ABC上って言う条件は
線分DEの中点をMとすると
OM→=(OD→+OE→)/2
で点Mが平面ABC上になるには、α,βを実数として
AM→=αAB→+βAC→

OM→-OA→=α(OB→-OA→)+β(OC→-OA→)

OM→=OA→+α(OB→-OA→)+β(OC→-OA→)

より
(OD→+OE→)/2=OA→+α(OB→-OA→)+β(OC→-OA→)
であればよいから、これを整理して

((x+1)/2,(y+3)/2,(z+7)/2)=(2-α-2β,1-α,α+2β)

成分を比較して

(x+1)/2=2-α-2β
(y+3)/2=1-α
(z+7)/2=α+2β

090702_m2.jpg

とりあえず全部式を書き出すと

x+y-z=-3…[1]
x-z=-6…[2]
(x+1)/2=2-α-2β…[3]
(y+3)/2=1-α…[4]
(z+7)/2=α+2β…[5]

これでx,y,zを求めたらよくて

[1]-[2]:y=3
[3]+[5]:x+y=-4…[6]
([2]+[6])/2:x=-5
[2]にx=-5を代入してz=1

よってE(-5,3,1)

って出来ました。

よかったですね。

これで安心ですね。

京都大学の入試の数学の過去問の解説

高校数学の入試問題などの解説




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