受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

整数問題的な論証問題、京都大学2006年度文系前期の第5問の解説
まあ数学的帰納法が出来るやつはモテるからな。

京都大学2006年度文系前期第5問の解説

[問題]
n,kは自然数でk≦nとする。穴のあいた2k個の白玉と2n-2k個の黒玉にひもを通して輪を作る。
このとき適当な2箇所でひもを切ってn個ずつの2組に分け、どちらの組も白玉k個、黒玉n-k個からなるようにできることを示せ。


[解答と解説]
当たり前のような話やけど、それをどうやって説明するかやねんな。

ポイントとなるのはまずどこでもいいから2箇所切ってn個ずつにすると白玉の個数は
k-m個

k+m個
(mは0以上n以下の整数)
のひもになるわけや。


そして切る位置を一個反時計周りの方向にずらすと、白玉の数の変化は1個減るか増えるかそのままですやん。
だから、そのままか±1の連続する整数にしか変化せえへんねん。

と言うことはn回ずらすと白玉の個数がk-m個から連続的に変化していって、k+mになると言うことは、必ずその間に白玉がk個になる位置があったことになるやろ。


この±1ずつの連続に整数が変化すると間の整数の値を必ずとるって言うのがポイントやねん。

例えば4からランダムに±1ずつ連続的に変化して10になったとしたら、その間の整数の7とか5とかの値を絶対にとってるわけやねんな。


数学的に大切なのはその1ずつ変化すれば間にあった整数の値は必ずとることやから、そこを言えば大丈夫だと思います。

後はこれを解答にしていけばええわけやけど、結構難しいな。

090702_m3.jpg

とりあえず円状に点A_1,A_2,…,A_2nを反時計周りに並べてこの点上に玉を置くと考える。

それでどこでもいいけどA_1とA_2の間で切った時、n個ずつの2組のひもになって白玉の個数はk-mとk+m個になってます
(mは0≦m≦kの整数)
それでA_2が入ってる側の方がk-m個の場合を示せば十分です。

A_(i+1)側の白玉の個数をN(i)とおくと
N(1)=k-m,N(n+1)=k+m

090702_m4.jpg

N(i)の部分からN(i+1)の部分へは

(i)○が1個減って、●が1個増える
(ii)○が1個減って、○が1個増える
(iii)●が1個減って、●が1個増える
(iv)●が1個減って,○が1個増える

の4通りしかなくて、N(i)からN(i+1)にはそのままの値か、増加、減少するときは1ずつしかしないことがわかります。

だから変化する時は連続してる整数にしか変化しません。

よってN(1)=k-m,N(n+1)=k+m
でN(1)からN(n+1)まで変化する時、N(j)=kとなる自然数j(1≦j≦n)が存在します。

090702_m5.jpg

だからA_jとA_(j+1)の間で切ればどちらの組も白玉k個ずつで、黒玉もn-k個ずつに出来ると示せました。

京都大学の入試の数学の過去問の解説

高校数学の入試問題などの解説




テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

▲ページトップへ
この記事に対するトラックバック
トラックバックURL
→http://kazuschool.blog94.fc2.com/tb.php/321-5f419b50
この記事にトラックバックする(FC2ブログユーザー)
▲ページトップへ
プロフィール

わんこら

Author:わんこら
京都大学理学部で数学と物理を勉強し、数学を専攻しました。
東京で数学と物理の講師やってます

わんこら日記で日記とか勉強の仕方とか書いています

わんこら式数学の勉強法

メール
迷惑メールにされる危険性があるので出来るだけ
kazuyuki_ht○guitar.ocn.ne.jp
(○を@にしてください)に送ってください
勉強とかでどんな悩み持ってるかなど色々と教えてくれると嬉しいです。
わんこら式のやり方についてのメールはわんこら式診断プログラムを参考にしてください

詳しいプロフィール

人気blogランキングへ



にほんブログ村 受験ブログへ



学生広場

相互リンクも募集してます。

何かあれば
kazuschool_ht★yahoo.co.jp
かメールフォームからメールください。
(★を@にしてください)

カテゴリー

メールフォーム

名前:
メール:
件名:
本文:

FC2カウンター

リンク

このブログをリンクに追加する

お勧めの参考書、ノート

数学でお勧めのノートは
KOKUYOの無地
理由




センター試験は過去問が大切


チャートが終わったらお勧め
大学への数学1対1シリーズ
数学1


数学A


数学2


数学B


数学3


数学C

月別アーカイブ

ブログ内検索

RSSフィード

最近のトラックバック

ブロとも申請フォーム

この人とブロともになる

  1. 無料アクセス解析