受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

多項式の問題、京都大学2006年度後期理系第一問文系第三問の文理共通問題の解説
私たちは雨降りの平面幾何って感じやな。


そしたら京都大学2006年度後期理系第一問文系第二問の共通問題の解説をします。


[問題]
090703_m1.jpg
1次式A(x),B(x),C(x)に対して{A(x)}^2+{B(x)}^2={C(x)}^2が成り立つとする。このときA(x)とB(x)はともにC(x)の定数倍であることを示せ。


[解答と解説]
A(x)やB(x)やC(x)のまま華麗に解く方法もありますが、別にエレガントじゃなくても
A(x)=a_1x+a_2,B(x)=b_1x+b_2,C(x)=c_1x+c_2
とa_1,a_2,b_1,b_2,c_1,c_2はa_1≠0,a_1≠0,c_1≠0の定数と置いて、計算しても解けるからこれでええと思います。

やっぱり思いついた方法で解ける処理能力って言うのが本番強いと思うねんな。

それにエレガントに解くと説明が難しくなったり、それを証明しろ言うとんねん!で点数が無かったりとかで、普通の解き方でその問題が解けるなら文句のつけどころも無くて得点に結び付きやすいと思います。

090703_m2.jpg

と言うことで単純に{A(x)}^2+{B(x)}^2={C(x)}^2に代入してxについて整理すると
(a_1^2+b_1^2-c_1^2)x^2+2(a_1a_2+b_1b_2-c_1c_2)x+a_^2+b_2^2-c_2^2=0

これが恒等的に成り立つわけやから、x^2,xの係数と定数が0で

a_1^2+b_1^2-c_1^2=0
a_1a_2+b_1b_2-c_1c_2=0
a_^2+b_2^2-c_2^2=0

の三つが成り立てばよいことになります。

090703_m3.jpg

後はA{x}とB{x}がC{x}の定数倍を示したいっってことはc_1,c_2でa_1,a_2,b_1,b_2やらを表したらええわけで
a_1^2+b_1^2-c_1^2=0
から
b_1^2=c_1^2-a_1^2

a_2^2+b_2^2-c_2^2=0
から
b_^2^2=c_2^2-a_2^2

でa_1a_2+b_1b_2-c_1c_2=0から
(b_1b_2)^2=(c_1c_2-a_1a_2)^2
これに代入してb_1,b_2を消去して整理すると

(c_1a_2-a_1c_2)^2=0
より
c_1a_2=a_1c_2と分かります。

a_1は0でないって言う条件があるからa_2について解いてa_2を消去した方が扱いやすくて

a_2=a_1c_2/c_1

同様にして

b_2=b_1c_2/c_1

とわかります。
a_1,a_2とb_1,b_2は
a_1^2+b_1^2-c_1^2=0
a_1a_2+b_1b_2-c_1c_2=0
a_^2+b_2^2-c_2^2=0
から式の形が同じでa_1をb_1に,a_2をb_2と交換しても式は同じやからな。

a_1,a_2とb_1,b_2の対称性ってやつやな。

これで
A(x)=a_1x+a_2=a_1x+a_1c_2/c_1
=a_1/c_1×(c_1x+c_2)
=a_1/c_1×C(x)

B(x)=b_1x+b_2=b_1x+b_1c_2/c_1
=b_1/c_1×(c_1x+c_2)
=b_1/c_1×C(x)

よってA(x),B(x)はC(x)の定数倍であることがいえました。

こうやって思いつきやすい普通の方法で解ける処理能力を身につけておくと、高い確率で解けるわけやし議論に怪しさがない完璧な解答が出来て本番に結構強くなると思います。

京都大学の入試の数学の過去問の解説

高校数学の入試問題などの解説




テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

▲ページトップへ
この記事に対するトラックバック
トラックバックURL
→http://kazuschool.blog94.fc2.com/tb.php/322-20e532e6
この記事にトラックバックする(FC2ブログユーザー)
▲ページトップへ
プロフィール

わんこら

Author:わんこら
京都大学理学部で数学と物理を勉強し、数学を専攻しました。
東京で数学と物理の講師やってます

わんこら日記で日記とか勉強の仕方とか書いています

わんこら式数学の勉強法

メール
迷惑メールにされる危険性があるので出来るだけ
kazuyuki_ht○guitar.ocn.ne.jp
(○を@にしてください)に送ってください
勉強とかでどんな悩み持ってるかなど色々と教えてくれると嬉しいです。
わんこら式のやり方についてのメールはわんこら式診断プログラムを参考にしてください

詳しいプロフィール

人気blogランキングへ



にほんブログ村 受験ブログへ



学生広場

相互リンクも募集してます。

何かあれば
kazuschool_ht★yahoo.co.jp
かメールフォームからメールください。
(★を@にしてください)

カテゴリー

メールフォーム

名前:
メール:
件名:
本文:

FC2カウンター

リンク

このブログをリンクに追加する

お勧めの参考書、ノート

数学でお勧めのノートは
KOKUYOの無地
理由




センター試験は過去問が大切


チャートが終わったらお勧め
大学への数学1対1シリーズ
数学1


数学A


数学2


数学B


数学3


数学C

月別アーカイブ

ブログ内検索

RSSフィード

最近のトラックバック

ブロとも申請フォーム

この人とブロともになる

  1. 無料アクセス解析