受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

行列と連立漸化式、京都大学2006年度後期理系第二問の解説
誰が足フェチが好きなおっさんやねん。


そんなん誰も言うてないって。

そしたら京都大学2006年度後期理系第二問の解説をします。


[問題]
090704_m1.jpg
aを実数として、行列Aを
A=(a 1-a 1-a a)と定める。
(x_0  y_0)=(1 0)とし、数列{x_n},{y_n}を次の式で定める。
(x_n y_n)=A(x_(n-1) y_(n-1)),n=1,2,…
このとき数列{x_n}が収束するためのaの必要十分条件を求めよ。

(
行列(a b c d)は
a b
c d
のことで
ベクトル(x y)は縦の
x
y
のこと)


[解答と解説]
090704_m2.jpg

線形打数の知識を使って固有値とか固有ベクトルを求めてA^nを求める方法もあるにはあるわけですが、そんなにしんどいことはしなくても当然よくて

難しく考えずにそのまま
(x_n y_n)=A(a 1-a 1-a a)
で連立漸化式が出来ていてそれを解いたらオッケーです。

x_n=ax_(n-1)+(1-a)y_(n-1)
y_n=(1-a)x_(n-1)+ay_(n-1)

この連立漸化式は{y_n}消去すれば、{x_n}の隣接三項間漸化式になって機械的に解けます。

x_n=ax_(n-1)+(1-a)y_(n-1)
から
(1-a)y_(n-1)=x_n-ax_(n-1)
これを
y_n=(1-a)x_(n-1)+ay_(n-1)
の両辺に(1-a)をかけて代入すれば
x_(n+1)-ax_n=(1-a)^2x_(n-1)+ax_n-a^2x_(n-1)

x_(n+1)-2ax_n+(2a-1)x_(n-1)=0

特性方程式は
t^2-2at+(2a-1)=0

(t-1)(t-2a+1)=0
でt=1,2a-1ですがこれは実はAの固有値と一致しているのが面白いとこです。

後は
x_(n+1)-x_n=(2a-1)(x_n-x_(n-1))
x_(n+1)-(2a-1)x_n=x_n-(2a-1)x_(n-1)
が出来てこれより
x_(n+1)-x_n=(2a-1)^n(x_1-x_0)=(a-1)(2a-1)^n
x_(n+1)-(2a-1)x_n=x_1-(2a-1)x_0=(1-a)
より辺辺引いて
2(a-1)x_n=(a-1)((2a-1)^n+1)

a=1の時、x_n=ax_(n-1)+(1-a)y_(n-1)からx_n=x_(n-1)からx_n=1
a≠1の時、x_n={(2a-1)^n+1}/2
これはa=1の時も満たす

よってx_n={(2a-1)^n+1}/2
で求まります。

こうやって普通の発想で解けるって言うのは大切なことやねん。


ただ式の形をよく見るとx_nとy_nの和と差を考えればかなり簡単になります。
そういう式変形は確かによくあります。

でもそこがこの問題を解くための本質的な部分と言うわけではないってことを注意しとってください。

090704_m3.jpg

と言うことで

x_n=ax_(n-1)+(1-a)y_(n-1)
y_n=(1-a)x_(n-1)+ay_(n-1)

から

x_n+y_n=x_(n-1)+y_(n-1)
x_n-y_n=(2a-1)(x_(n-1)-y_(n-1))

これから{x_n+y_n}はどんなnでも一定で{x_n-y_n}は公比(2a-1)の等比数列だから

x_n+y_n=x_0+y_0=1
x_n-y_n=(2a-1)^n(x_0-y_0)=(2a-1)^n

この二つの式を辺辺足して2で割るとx_nが求まって

x_n=((2a-1)^n+1)/2

後は{x_n}が収束する条件やけど、-1<2a-1≦1です。
まあ2a-1=-1やったら、-1と1が交互に表れて収束せえへんからな。

よって
0<a≦1

京都大学の入試の数学の過去問の解説

高校数学の入試問題などの解説




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