受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

確率の問題、京都大学2006年度後期理系第三問と文系第一問の解説
ちょっと、まさるを託児所につれていってくるわ。


京都大学2006年度後期理系第三問と文系第二問の解説


[問題]
理系
さいころをn個同時に投げるとき、出た目の数の和がn+3になる確率を求めよ。

文系
さいころをn個同時に投げるとき、出た目の数の和がn+2になる確率を求めよ。

[解答と解説]
普通に場合分けしていったらええと思います。

理系から説明すると

090704_m4.jpg

まずさいころの目の出方は全部で6^n通りで

n+3になるのは全部1にするとnになるからほとんどが1なわけや。
後、2とか3とか何個が出てくる感じやな。

だからn+3になるのは次の三つの場合があるねん、
2が3個、他は1
2が2個、3が1個、他は1
4が1個、他は1

ただ、2が3個出るってことはnが3以上じゃないと、こんな話ふにゅの世界の贈りもんやから

n≧3の時って条件を忘れないようにしてください。
だから
n≧3の時
2が3個、他は1
2が2個、3が1個、他は1
4が1個、他は1
の3つの場合があって

2が3個、他は1はn個のさいころから3個選んでnC3
2が1個、3が1個、他は1はn個さいころから2になるのを選んでn、残りのn-1から3になるの選んでn-1つまりn(n-1)通り
4が1個はnC1=n通り

よって求める確率は
(nC3+n(n-1)+n)/6^n=n(n+1)(n+2)/6^(n+1)

090704_m5.jpg

n=2の時はn+3=5になるのは
(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)の組み合わせの4通りで確率は
4/6^2=1/9

n=1の時はn+3=4で4の目だけやから確率は1/6

これは
n(n+1)(n+2)/6^(n+1)
でn=2,1を代入すると1/9,1/6になるからんn≧1で成立していて求める確率は

n(n+1)(n+2)/6^(n+1)


これ妙に綺麗な答えやけど実は重複組み合わせを使って
nH3/6^n
です。
n個のさいころを全部1として、重複を許して3回選んで1ずつ増やしたらええわけやねんな。

こっちもそこそこ定石的な解き方でええと思います。


文系の方は簡単にしてるだけで

090704_m7.jpg

さいころの目の出方は全部で6^n
n≧2の時、n+2になるのは
(i)2が2個、他は1
(ii)3が1個、他は1
で(i)はnC2通り、(ii)はnC1通りで確率は
(nC2+nC1)/6^n=n(n+1)/2・6^n

n=1の時、n+2=3になるのは3の目だけで確率は1/6
よって求める確率は

(nC2+nC1)/6^n=n(n+1)/2・6^n(n=1の時も満たす)

それでこれもnH2/6^nになっていて、n個のさいころを全部1として、重複を許して2回選んで1ずつ増やしたらええねん。

京都大学の入試の数学の過去問の解説

高校数学の入試問題などの解説




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