受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

tan1°は有理数か?、京都大学2006年度後期理系第六問、文系第5問の文理共通問題の解説
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京都大学2006年度後期理系第六問、文系第5問の解説

[問題]
tan1°は有理数か



[解答と解説]
有理数なわけがなさそうやけど、それをどうやって示すかやな。
まずtan30°は1/√3で有理数じゃなかったから、これを使われへんかって考えると
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)
と言う加法定理から
tan(1°+1°)=(tan1°+tan1°)/(1-tan1°tan1°)
でtan1°が有理数と仮定していたら、tan2°も有理数になるはずやと。

それで
tan(2°+1°)=(tan2°+tan1°)/(1-tan2°tan1°)
でtan1°が有理数と仮定していたら、tam2°も有理数でtan3°も有理数になるはずやと。

これを続けたらtan30°が有理数になってしまって矛盾が示せるんちゃうかって話になりますやん。


数学的にこれを証明するには、数学的帰納法です。

数学的帰納法でtan1°が有理数と仮定したら、nを自然数としてtan n°が有理数であることを示す・

ところがtan30°は無理数やから矛盾で背理法からtan1°が有理数でないと示せます。

090704_m6.jpg

nを自然数としてtan1°が有理数と仮定すると
tan n°が有理数であることを数学的帰納法により証明すると。

(i)n=1の時は仮定からtan1°は有理数

(ii)n=kの時,tank°を有理数と仮定すると
tan(k+1)°=(tank°+tan1°)/(1-tank°tan1°)
よってtan(k+1)°も有理数
(i)(ii)よりtan1°を有理数と仮定すると任意の自然数nに対してtann°は有理数。

ところがtan30°=1/√3より矛盾。
よってtan1°は有理数でない。

京都大学の入試の数学の過去問の解説

高校数学の入試問題などの解説




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