受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

内心のベクトルの問題、京都大学2006年度後期文系第2問の解説
最近、飴が数直線線上に転がってる気分やな。


そしたら、京都大学2006年度後期文系の第2問の解説やります。

[問題]
090706_m1.jpg
△ABCの内心をPとする。PA→+PB→+PC→=0→が成り立っているとき、この三角形は正三角形であることを示せ。


[解答と解説]
内心のベクトルとか出てくると、もうそれは電車で寝てしまったら横のおっさんに耳たぶなめられた時みたいな感じやけど、確かに△ABCのベクトルの内心Iは位置ベクトルをA(a→),B(b→),C(c→),I(i→)として
i→=(|a→|a→+|b→|b→+|c→|c→)/(|a→|+|b→|+|c→|)
と言う公式があるには、ありますが京大がそんな博識なことををしかも文系に求めてるわけがありません。

もっとベクトルと言えば

○始点をそろえる。

○基本ベクトルで表していく。

って言う基本的な解法が大切やったわけやん。

その基本的なことをやったらええねん。

090706_m2.jpg

Aを始点にして、基本ベクトルをAB→とAC→にしてこの二つのベクトルであらわしていくことをやってみると

PA→+PB→+PC→=0

-AP→+AB→-AP→+AC→-AP→=0

AP→=(AB→+AC→)/3

これで内心Pはどうやら三角形ABCの重心でもあるようやなってことこがわかります。

内心と重心が一致してることから初等幾何で正三角形であることは簡単に示せますが、まあベクトルの問題は機械的に計算で出来るのが強いから一応ベクトルの方針にしたがって、Pが内心であることから∠BACの二等分線上より

AP→=k(AB→/|AB→|+AC→/|AC→|)
(kは実数)

とあらわせて、Pが内心であることベクトルで表すにはもう一つの角に二等分線上である式を立てなあかんけど

AP→=(AB→+AC→)/3
AP→=k(AB→/|AB→|+AC→/|AC→|)

すでにこの二つの式から、AB→とAC→は一次独立だから係数を比べて

1/3=k/|AB→|
1/3=k/|AC→|

から|AB→|=|AC→|が出てきてまいます。


そしたらBを始点にしてBA→とBC→を基本ベクトルとして同じようにしたら
|BA→|=|BC→|
も示せることになって

|AB→|=|BC→|=|CA→|

って正三角形であると示せるねん。


まあ、京大のベクトルの問題なら単純に始点を揃えて、基本ベクトルで表して係数を比較とかさえすれば解けるんか言われたら、そうでもないですが、やっぱりまず考えてみるべき方針でベクトルはこういう基本的な解法が身についてるかってことが大切やったりします。


ちなみに、重心と内心が一致した時、初等幾何ではどうやって正三角形であることを証明するかと言うと直線APの交点とBCの交点をMとすればPは重心より点Mは辺BCの中点でBM=CM
またPは内心だからAPは∠Aの二等分線より

AB:AC=BM:CM=1:1
よってAB=AC

どうようにしてBA=BCが示せるから

AB=BC=CA

です。

ベクトルで証明したのと同じことやってるのがわかると思います。

京都大学の入試の数学の過去問の解説

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