受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

ベクトルの存在範囲の解法、解答の書き方
今からベクトルでしばきあいしてもらいます。


今回は、ベクトルの存在範囲の問題の解き方を書きたい思います。
これがわかりにくいし、しかも解答が書きにくいみたいやねんな。


090708_m1.jpg

まずベクトルの存在範囲の問題は平面に三点O,A,Bがあってs,tを実数として
→OP=sOA→+tOB→
となる点Pが存在する範囲は
(i)s+t=1を満たしてs,tが動く時は、直線AB
(ii)s+t=1,s≧0,t≧0は線分AB
(iii)s+t≦1,s≧0,t≧0は△OABの周および内部
(iv)0≦s≦1,0≦t≦1はOC→=OA→+OB→となる点Cをとって平行四辺形OACBの周および内部

のだいたい4パターンがあって、このパターンのどれかの形にしていきます。


手順としては

090708_m2.jpg

1、(i)~(iv)のどれかの文字の条件の形にする。

2、始点に名前をつける

3、(i)~(iv)のどれかの形にするために点に名前をつけていく。

4、(i)~(iv)のどれかの形が完成


具体的にどうやるか、例題を通して説明したいと思います。


090708_m3.jpg

例題1
-1≦s≦2,0≦t≦1の時

これは(iv)の形に近いから平行四辺形になりそうです。
まずは文字の条件を(iv)の形にしてみます。

手順1、

tはそのままでオッケーやから
-1≦s≦2⇔0≦s+1≦3
⇔0≦(1+s)/3≦1

これなら(iv)の文字の条件の形になります。

だから
OP→=sOA→+tOB→
=(1+s)/3・3OA→+tOB→-OA→

平行四辺形の始点はこのOを-OA→移動したところになります。
だから

手順2、

-OA→=OC→となる点Cをとる。
これを始点にします。

OP→=(1+s)/3・3OA→+tOB→+OC→

CP→=(1+s)/3・3OA→+tOB→

後は3OA→とOB→をCを始点にしたベクトルで置き換えます。

手順3、

CA'→=3OA→
CB'→=OB→
となる点A',B'をとります。
具体的にこれはどんな点かと言うとOを始点にして
CA'→=3OA→⇔OA'→-OC→=3OA→
⇔OA'→=2OA→

CB'→=OB→⇔OB'→-OC→=OB→
⇔OB'→=OB→-OA→

と言うような点です。
こうすると
CP→=(1+s)/3・CA'→+tCB'→
と(iv)の形が完成するわけやけど、平行四辺形って答えるためにもう一つ
CD→=CA'→+CB'→
となる点Dをとっておきます。
この点もOを始点とすると
OD→-OC→=3OA→+OB→

OD→=2OA→+OB→
となる点です。

090708_m4.jpg

4、CP→=(1+s)/3・3OA→+tOB→

CP→=(1+s)/3・CA'→+tCB'→
(0≦(1+s)/3≦1,0≦t≦1)

これで(iv)の形が出来て、Pは平行四辺形CA'DB'の周および内部を動くってことがわかりました。

たいがい図示せよって問題やから、図を書いて斜線部でも引いて、図の斜線部って答えてください。


もう一つ例題を考えると

090708_m5.jpg

例題2
s+t/2=3,0≦s.0≦tの時。

手順1、
(ii)の線分の形に近いから

s+t/2=3

s/3+t/6=1


s/3≧0,t/6≧0

OP→=sOA→+tOB→
=s/3・3OA→+t/6・6OB→

これは始点はOのままでオッケーやから手順2はいらんな。

手順3、
OA'→=3OA→
OB'→=6OB→
となる点A',B'をとると

手順4
OP→=s/3・OA'→+t/6・OB'→
(s/3+t/6=1,s/3≧0,t/6≧0)

よって点Pの存在範囲は線分A'B'になります。

これも図を書けって言われるやろな。


ベクトルの存在範囲の問題はこういう感じでやれば、ちゃんと説明が書きやすくなると思います。
特にややこしい問題とかな。

高校数学の公式や問題の解説




テーマ:算数・数学の学習 - ジャンル:学校・教育

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