受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

a+b=1の時、a,bは互いに素
a_1,a_2,a_3,…,a_nをn個の整数とすると

a_1+a_2+a_3+…+a_n=1

の時a_1,a_2,a_3,…,a_nの最大公約数は1である。


これは整数問題でたまに使うから一応覚えといてください。

ややこしいことを言うてるようで、証明はかなり簡単でa_1,a_2,a_3,…,a_nの最大公約数をmとするとb_1,b_2,b_3,…,b_nを整数として

a_1=mb_1,a_2=mb_2,a_3=mb_3,….a_n=mb_n

と表せて

a_1+a_2+a_3+…+a_n=1

mb_1+mb_2+mb_3+…+mb_n=1

m(b_1+b_2+b_3+…+b_n)=1

mとb_1+b_2+b_3+…+b_nは整数で、

整数×整数=1

とかなってるから、掛け算して1になるのは-1か1だけやからm=1になるねん。
それとかb_1+b_2+b_3+…+b_n=1/mと変形したらb_1+b_2+b_3+…+b_nは整数やからm=1しかないしな。


だからa_1,a_2,a_3,…,a_nは最大公約数が1なわけやな。


もちろんa_1,a_2,a_3,…,a_nの最大公約数が1なら、a_1,a_2,a_3,…,a_nのそれぞれの任意の約数c_1,c_2,c_3,…,c_nをとってきても最大公約数は1です。
(a_k=(整数)×c_k(k=1,2,…,n))

だからこれを使うことで例えばa,b,c,dを整数として

ad-bc=1

と言う式があれば、adと-bcは最大公約数が1つまり互いに素だから、aとbも互いに素やし、aとcも互いに素やし、dとbも互いに素やし、dとcも互いに素ってことがわかるねん。


当たり前のようやけど結構難しいことが示せて

nを自然数として、n+1と2n+1が互いに素であることを証明せよ

って問題なら一見難しそうやけど

2(n+1)-(2n+1)=1

よりn+1と2n+1は互いに素ってわかるわけやな。


さらにはもう少し応用させると、dを正の整数として

a_1+a_2+a_3+…+a_n=d

ならa_1,a_2,a_3,…,a_nの最大公約数はdの約数になります。

これも証明は同じで最大公約数をmとして

a_1=mb_1,a_2=mb_2,a_3=mb_3,….a_n=mb_n

とおけて

a_1+a_2+a_3+…+a_n=d

mb_1+mb_2+mb_3+…+mb_n=d

m(b_1+b_2+b_3+…+b_n)=d

だからmはdの約数になります。
b_1+b_2+b_3+…+b_n=d/m
やからmがdの約数違うかったらb_1+b_2+b_3+…+b_nは整数にならへんからな。

例えば
10-6=4
なら10と6は最大公約数は2で4の約数にちゃんとなってるやろ。

これを使うと、
東京大学2009年度の理系第1問

090305_m1.jpg
自然数m≧2に対し、m-1個の二項係数
m_C_1,m_C_2,…,m_C_(m-1)
を考え、これらすべての最大公約数をd_mとする。
すなわちd_mはこれらすべてを割り切る最大の自然数である。
(1)mが素数ならば、d_m=mであることを示せ。
(2)すべての自然数kに対し、k^m-kがd_mで割り切れることを、kに関する数学的帰納法によって示せ。(文系はここまで)
(3)mが偶数のときd_mは1または2であることを示せ。


の(3)がすぐに示せて


090709_m1.jpg

(1-1)^m=Σ(k=0~m)(-1)^km_C_k

0=1+(-1)^m+Σ(k=1~m-1)(-1)^km_C_k

2=-Σ(k=1~m-1)(-1)^km_C_k

だからm_C_1,m_C_2,m_C_3,…,m_C_(m-1)の最大公約数d_mは2の約数つまり1または2ってすぐに証明できます。

これ普通数学の問題って前の問が誘導になっててそれを使ったら解けるようになってるけど、これは誘導に乗らない方が(3)は簡単に証明出来てしまう感じやな。
オレも(2)を無理矢理使って結構苦労して証明したのに、友達が2=-Σ(k=1~m-1)(-1)^km_C_kってそっこう解いてしばいたろか思った歴史があります。

高校数学の公式や問題の解説

整数問題の解法の解説と問題演習




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