受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

逆像法または逆手流の使い方、説明
今日はママと一緒に寝てる姿を写真にとられました。

また狂いだしたか。


今回は逆像法ってやつを説明したいと思います。
本によっては逆手流とか書いてます。

これは広い応用性があって、多くの難関国立大学でもこの方法を使って解くことがあるから、ぜひ勉強して欲しい方法です。


例題としてこんな問題を考えてみましょう。
結構有名やねんけど。


090711_m1.jpg

例題
実数tがt≧0のすべての実数を動くとき直線l_t
l_t:y=2tx-t^2
が動く範囲を図示せよ。


この問題はtを動かすんじゃなくて

y=2tx-t^2

t^2-2tx+y=0

tで整理して、これがt≧0で解を持つような(x,y)を求めるねん。

これが逆像法とか、逆手流とか呼ばれるやり方です。


こう考えることで、二次方程式の解の配置問題になってしまって

090711_m2.jpg

f(t)=t^2-2xt+y

とおくとf(t)=0がt≧0で解を持つには

(i)f(0)≦0⇔y≦0

(ii)
f(0)≧0
判別式D≧0
軸x≧0

0≦y≦x^2
x≧0

090711_m3.jpg

(i)(ii)から図示したらオッケーです。

こうやって逆像法を使えば、二次方程式の解の配置問題とかに転換されて処理が非常にしやすくなったり簡単になったりするねんな。

場合によっては三次方程式になることもあるけど、だいたい二次方程式になることが多いかなあ。

ちなみにおまけとして、この問題のl_t;y=2tx-t^2はy=x^2の(t,t^2)における接線やから、y=x^2でx≧0で接する直線の範囲を考えても図示できます。
たまにこんな解答を載せてる問題集あるな。


でもやっぱり幅広く応用できるのは、逆像法やねん。


それとかもう一つの例題

090711_m4.jpg

f(x)=(x-3)/(x^2+x+4)

の範囲を求めるときは、相加平均相乗平均の関係を使えば何とか求まるけどこれも

k=(x-3)/(x^2+x+4)

と置いてxで整理して

kx^2+(k-1)x+4k+3=0

でこれが解を持つようなkの範囲を考えるねん。
xを動かすんじゃなくて、解が存在するようなkの範囲を考えるねん。

これはk=0やったら、一次方程式になるからk=0とk≠0と場合わけして考えなあかんけど

k=0の場合x=3
k≠0の場合二次方程式やから判別式Dが0以上であればいいから
(k-1)^2-4k(4k+3)≧0

(15k-1)(k+1)≦0

-1≦k≦1/15

であわせて
-1≦k≦1/15
って範囲がわかるねん。


相加平均相乗平均より機械的に処理できてわかりやすい上に、もっとx≧2を動くときとか条件がついても応用できるのが逆像法の凄いとこやねんな。



この逆像法をフルに使ったような解答は

二次関数と領域の問題、東京大学2007年度前期数学理系第3問

とかでも見たってください

高校数学の公式や問題の解説




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