受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

3つの文字の対称式の問題、北海道大学2009年度後期第一問の解説
はあ、そしたら雑菌処理するつもりで行こか。

北海道大学後期の第一問の解説

[問題]
090717_m1.jpg

α,β,γをα+β+γ=0をみたす複素数とする。
z=α^2+β^2+γ^2とおく。

(1)αβ+βγ+γαをzで表せ。

(2)α^4+β^4+γ^4をzで表せ。


[解答と解説]
090717_m2.jpg

(1)
αβ+βγ+γαと言えば、(α+β+γ)^2を展開したら出てくるから

(α+β+γ)^2=α^2+β^2+γ^2+2(αβ+βγ+γα)

でα+β+γ=0、α^2+β^2+γ^2=zやから

0=z+2(αβ+βγ+γα)

αβ+βγ+γα=-z/2

(2)
これはちょっと工夫が必要やな。
α^4+β^4+γ^4の項をだすには(α+β+γ)^4を考えても出来ないこともないかもしれんけど、4乗を展開するのは大変やから
(α^2+β^2+γ^2)^2
を考えてみるねん。

そしたら

(α^2+β^2+γ^2)^2=α^4+β^4+γ^4+2(α^2β^2+β^2γ^2+γ^2α^2)

これでもα^2β^2+β^2γ^2+γ^2α^2をどうするかやな。
(1)を使うんやろうから、(αβ+βγ+γα)^2を考えたら良さそうな感じもするな。
だから

(αβ+βγ+γα)^2=α^2β^2+β^2γ^2+γ^2α^2+2(αβ^2γ+αβγ^2+α^2βγ)

(αβ+βγ+γα)^2=α^2β^2+β^2γ^2+γ^2α^2+2αβγ(α+β+γ)

これで上手いことαβγ(α+β+γ)=0やから

α^2β^2+β^2γ^2+γ^2α^2=-(z^2)/4

これで

(α^2+β^2+γ^2)^2=α^4+β^4+γ^4+2(α^2β^2+β^2γ^2+γ^2α^2)

z^2=α^4+β^4+γ^4+2(z^2)/4

α^4+β^4+γ^4=(z^2)/2

はい、だいぶん対称式に扱いになれてきましたね。

またなんか一人で言うてるなこれ。

高校数学の入試問題などの解説




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