受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

平面座標とベクトルの問題、東京大学2006年度理系第一問の解説
今日も輪ゴムで指を壊死させんばかりの勢いでいこか。


東京大学2006年度前期理系第一問の解説

[問題]
090720_m1.jpg
Oを原点とする座標平面上の4点P_1,P_2,P_3,P_4で、条件
OP_(n-1)→+OP_(n+1)→=3/2・OP_n→ (n=2,3)
を満たすものを考える。このとき、以下の問いに答えよ。
(1)P_1,P_2が曲線xy=1上にあるとき、P_3はこの曲線上にないことを示せ。
(2)P_1,P_2,P_3が円周x^2+y^2=1上にあるとき、P_4もこの円周上にあることを示せ。


[解答と解説]
090720_m2.jpg
(1)
なんか
OP_(n-1)→+OP_(n+1)→=3/2・OP_n→ (n=2,3)
とか難しそうなことかいてますが単に
OP_1→+OP_3→=3/2・OP_2→
OP_2→+OP_4→=3/2・OP_3→
が成り立つと言うことだけです。

P_3(x_3,y_3)とすると
x_3y_3=1
にならないことを証明したらいいわけですが、
OP_1→+OP_3→=3/2・OP_2→
によってP_1(x_1,1/x_1),P_2(x_2,1/x_2)とおくとx_3,y_3はx_1とx_2で表せるから、それで何かわかりそうな感じです。

OP_1→+OP_3→=3/2・OP_2→

OP_3→=3/2・OP_2→-OP_1→
から
x_3=3x_2/2-x_1
y_3=3/2x_2-1/x_1

x_3y_3
を計算してx_2/x_1の式になるから微分したりとか、相加平均相乗平均の関係とか逆像法とか色々な解き方ができるねんけど
x_3y_3=1
として矛盾が生じると言うのが一応証明がしやすくて

(3x_2/2-x_1)3/2x_2-1/x_1=1

9/4-3/2(x_2/x_1+x_1/x_2)=0

6(x_2/x_1)^2-9(x_2/x_1)+6=0…①

それでこれをx_2/x_1の二次方程式として判別式をDとすると
D=9^2-4・6・6
=-67<0
で①を満たすx_2/x_1は存在しないからx_3y_3=1でなくてP_3はxy=1上でないことがわjかりました。



(2)

(1)と同じようにやればできるんちゃうかこれってP_4(x_4,y_4)とおいて
OP_2→+OP_4→=3/2・OP_3→から
x_4=3x_3/2-x_2
y_4=3y_3/2-y_2
だから
x_4^2+y_4^2=(3x_3/2-x_2)^2+(3y_3/2-y_2)^2
=13/4-3(x_2x_3+y_2y_3)

ってやると、

090720_m3.jpg

こんなわけわからん空間に放り込まれます。

やり方は大丈夫やねんけど東大の問題では処理能力が問われてて、よくこんなことなるねん。
だから、式を同値変形で機械的に整理して処理していく能力が必要なわけやねんな。

東大の過去問を通して、そういう技術を身につけて欲しいねんけどこの問題の場合

090720_m4.jpg

P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2),P(x_3,y_3)とおいて
P_1,P_2,P_3が円周x^2+y^2=1上の点から
x_1^2+y_1^2=1
x_2^2+y_2^2=1
x_3^2+y_3^2=1

OP_1→+OP_3→=3/2・OP_2→
OP_2→+OP_4→=3/2・OP_3→
から
x_3=3x_2/2-x_1
y_3=3y_2/2-x_1
x_4=3x_3/2-x_2
y_4=3y_3/2-y_2
が成り立ちます。

これら7つの式を書き出して、同値変形でx_1,y_1,x_2,y_2でx_3,y_3,x_4,y_4を表していきます。

すると

x_3=3x_2/2-x_1
y_3=3y_2/2-x_1
x_4=3x_3/2-x_2
y_4=3y_3/2-y_2

x_3=3x_2/2-x_1
y_3=3y_2/2-x_1
x_4=5x_2/4-3/2・x_1
y_4=5y_2/4-3/2・y_1

によってx_3,y_3,x_4,y_4はx_1,y_1,x_2,y_2によって決まって,x_1,y_1,x_2,y_2は

x_1^2+y_1^2=1
x_2^2+y_2^2=1
x_3^2+y_3^2=1

x_1^2+y_1^2=1
x_2^2+y_2^2=1
x_1x_2+y_1y_2=3/4

を満たしていればええことがわかるねん。


ここまで整理できれば

x_4^2+y_4^2=(5x_2/4-3/2・x_1)^2+(5y_2/4-3/2・y_1)^2
=25/16+9/4-15(x_1x_2+y_1y_2)/4
=61/16-45/16=1

ってP_4が円周x^2+y^2=1上にあることが示せました。

東大受けるなら、こういう同値変形の処理の仕方を身につけたってください。

東京大学の入試の数学の過去問の解説

高校数学の入試問題などの解説




テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

▲ページトップへ
この記事に対するトラックバック
トラックバックURL
→http://kazuschool.blog94.fc2.com/tb.php/334-719149b8
この記事にトラックバックする(FC2ブログユーザー)
▲ページトップへ
プロフィール

わんこら

Author:わんこら
京都大学理学部で数学と物理を勉強し、数学を専攻しました。
東京で数学と物理の講師やってます

わんこら日記で日記とか勉強の仕方とか書いています

わんこら式数学の勉強法

メール
迷惑メールにされる危険性があるので出来るだけ
kazuyuki_ht○guitar.ocn.ne.jp
(○を@にしてください)に送ってください
勉強とかでどんな悩み持ってるかなど色々と教えてくれると嬉しいです。
わんこら式のやり方についてのメールはわんこら式診断プログラムを参考にしてください

詳しいプロフィール

人気blogランキングへ



にほんブログ村 受験ブログへ



学生広場

相互リンクも募集してます。

何かあれば
kazuschool_ht★yahoo.co.jp
かメールフォームからメールください。
(★を@にしてください)

カテゴリー

メールフォーム

名前:
メール:
件名:
本文:

FC2カウンター

リンク

このブログをリンクに追加する

お勧めの参考書、ノート

数学でお勧めのノートは
KOKUYOの無地
理由




センター試験は過去問が大切


チャートが終わったらお勧め
大学への数学1対1シリーズ
数学1


数学A


数学2


数学B


数学3


数学C

月別アーカイブ

ブログ内検索

RSSフィード

最近のトラックバック

ブロとも申請フォーム

この人とブロともになる

  1. 無料アクセス解析