受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

確率の問題、東京大学2006年度理系文系第二問の解説
あかん、スイカ割りの最中にトイレに行きたくなった気分や。


東京大学、2006年度理系第二問文系第二問の解説
[問題]
コンピュータの画面に、記号○と×のいずれかを表示される操作を繰り返し行う。
このとき、各操作で、直前の記号と同じ記号を続けて表示する確率は、それまでの経過に関係なく、pであるとする。
最初に、コンピュータの画面に記号×が表示された。操作を繰り返し行い、記号×が最初のものも含めて3個出るよりも前に、記号○がn個出る確率をP_nとする。
ただし、記号○がn個出た段階で操作は終了する。

理系
(1)P_2をpで表せ。
(2)n≧3のとき、P_nをpとnで表せ。

文系
(1)P_2をpで表せ。
(2)P_3をpで表せ。
(3)n≧4のとき、P_nをpとnで表せ。



[解答と解説]
(1)
まずn=2と言うことで具体的に全部書いてみましょう。

だいたい東大の問題と言えばn=2,3で具体的にやってみたりするもんやからな。


えっと

×○○××

×○×○×

××○○×

ってやってると

090723_m1.jpg

ドブシュ!!

って後頭部からロンギヌスの槍で刺されます。


東大の確率の問題は読み間違えたり、意味を取り間違えること多いねんな。
だから気をつけて欲しいねん。

「記号×が最初のものも含めて3個出るよりも前に、記号○がn個出る」
やから×が3個出るまでに○がn個って意味やねん。

だから×が1個でも、2個でもええから○がn個でたらええねん。
3個目が出るまでに○がn個出たらええねん。

ということで正しいのは

×○○

×○×○

××○○

の3つでそれぞれ確率は
(1-p)pと(1-p)^3とp(1-p)^2だから

P_2=(1-p)p+(1-p)^3+p(1-p)^2
=(1-p)(2p^2-p+1)


文系の(2)
090723_m2.jpg

同じように
×○○○ (1-p)p^2
×○○×○ p(1-p)^3
×○×○○ p(1-p)^3
××○○○ (1-p)p^3

だから
P_3=(1-p)p^2+2p(1-p)^3+(1-p)p^3


理系の(2)と文系の(3)

理系はn=2を求めさせて、いきなりP_nを求めろですが文系がn=3も求めさせてP_nを求めさせてるから、このn=3を考えさせてるところがキラーパスなことがわかります。

だから、こういう東大の問題は何か定石を使って求めると言うよりは単に数え上げる処理脳慮いくを求めていて、普通に数え上げたらええねん。
こういう問題がほんま多いな。

だから

×○○○…○○○

ってやつは確率は(1-p)p^(n-1)で

×○○○…○○×○

ってやつは(1-p)^3p^(n-2)

×○○○…○×○○

ってやつは(1-p)^3p^(n-2)

×○○○…×○○○

ってやつは(1-p)^3p^(n-2)



×○×○…○○○○

ってやつは(1-p)^3p^(n-2)

××○○…○○○○

ってやつは(1-p)p^n


これ間のn-1個は確率は全部(1-p)^3p^(n-2)で同じになってることがわかります。

だから

P_n=(1-p)p^(n-1)+(n-1)(1-p)^3p^(n-2)+(1-p)p^n
=(1-p)p^(n-2){np^2-(2n-3)p+n-1}


こうやって、記号が切り替わるのは何個で…とか深く考えるよりも図を書いて全部数え上げていこうとすれば簡単に出来るから、こういうような処理の仕方を勉強していったってください。

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