受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

座標平面の問題、東京大学2006年理系前期の第三問の解説
みんなでバスの中でゆで卵だけ食べよか。

東京大学2006年度理系第三問の解説


[問題]
090725_m1.jpg
Oを原点とする座標平面上に、y軸上の点P(0,p)と、直線m:y=(tanθ)xが与えられている。ここで,p>1,0<θ<π/2とする。
いま、傾きがαの直線lを対称軸とする対称移動を行うと、原点Oは直線y=1上の、第一象限の点Qに移り、y軸上の点Pは直線m上の、第一象限の点Rに移った。

(1)このとき、tanθをαとpで表せ。

(2)次の条件を満たす点Pが存在することを示し、そのときのpの値を求めよ。
条件:どのようなθ(0<θ<π/2)に対しても、原点を通り直線lに垂直な直線は
y=(tanθ/3)xとなる。


[解答と解説]
(1)
090725_m2.jpg

一般的にある直線nについてある点Aを対称移動させた点がBなら、

線分ABの中点が直線n上

直線nの⊥直線AB


の二つを式にしたら良かったと言うことは、それも今は良い思い出な式ですね。


と言うことで直線lは傾きαやからbを使って
y=αx+b
とおけて点Qは直線y=1上で第一象限やから(q,1)(q>0)とおけて、
点Rは直線m上で第一象限やから(r,(tanθ)r)(r>0)とおけて、

(1+0)/2=α(q+0)/2+b…①
α・(1-0)/(q-0)=-1…②
(p+tanθr)/2=α(0+r)/2+b…③
(tanθr-p)/(r-0)・α=-1…④

この四つの式がたって、後は普通に文字を消去していったらええわけですわ。

まあややこしいだけやな。

でも、その東大のやらしい連立方程式が好っきー

だからオレが言いたいんは、そんなん言うてる暇があったらはよ計算せいってことやねん。
まず③-①でb消去した式に
②からq=-α
③よりr=αp/(αtanθ+1)
を代入して整理したら

tanθ={p-1-(p+1)α^2}/(α^3+α-2αp)

になるねん。

さらりと書いてるけど、ここの計算が難しいねんな。

(2)
直線lとy=(tan(θ/3))xが垂直とすると
αtan(θ/3)=-1
になればええから、α=-1/tan(θ/3)を

tanθ={p-1-(p+1)α^2}/(α^3+α-2αp)

に代入してcos(θ/3),sin(θ/3)とか整理すれば…やってると

090725_m3.jpg

チーンってなります。

どういう意味やねん!


まあめちゃくちゃな式になるやろな。

でもよく考えたら、tanにも三倍角の公式みたいなんが成り立ってtanθってtan(θ/3)で表せるんちゃうんって思えなくもないやろ。

090725_m4.jpg

実際やってみると、普通に表せるねんな。

tanθ=(-(tan(θ/3))^3+3tan(θ/3))/(1-(tan(θ/3))^2)

だからチーンってなる必要ないねん。


090725_m5.jpg

後は

tanθ={p-1-(p+1)α^2}/(α^3+α-2αp)

つまり

(-(tan(θ/3))^3+3tan(θ/3))/(1-(tan(θ/3))^2)
={p-1-(p+1)α^2}/(α^3+α-2αp)

にα=-1/tan(θ/3)を代入してtan(θ/3)について整理したら、

(p-2)tan(θ/3)((tan(θ/3))^2+1)^2=0

になるねん。
まあタンジェントチーンを乗り切ってもここの計算でチーンなるんちゃうかって話やけどな。

まあこれで0<θ<π/2つまり0<tan(θ/3)<1/√3で常になりたてばええから、要するに係数が0、つまり

p-2=0⇔p=2

であれば0<θ<π/2のどんなθでも成り立っているから条件を満たすpは存在していてその値は2です。

ちなみに図形的に考えればこんな複雑な計算なしで解けるようです。

東京大学の入試の数学の過去問の解説

高校数学の入試問題などの解説




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