受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

整数問題、東京大学2006年度理系前期第四問の解説
ちょっとハイパフォーマンススヌーピー持ってきて。

また狂いだしたか。

東京大学2006年度理系第4問の解説

[問題]
090729_m1.jpg

次の条件を満たす組(x,y,z)を考える。
条件(A):x,y,zは正の整数でx^2+y^2+z^2=xyzおよびx≦y≦zを満たす
以下の問いに答えよ。
(1)条件(A)を、満たす組(x,y,z)で,y≦3となるものをすべて求めよ。
(2)組(a,b,c)が条件(A)を満たすとする。
このとき、組(b,c,z)が条件(A)を満たすようなzが存在することを示せ。
(3)条件(A)を見たす組(x,y,z)は無数に存在することを示せ。


[解答と解説]
(1)
090729_m2.jpg

y≦3やから
(x,y)=(1,1),(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,3)
しかないから全部代入してzが整数になるのを調べても全然ええしすぐに出来るんですが、一応定石的には必要条件によって絞るのがコツで

x^2+y^2+z^2=xyz

z^2+xyz+x^2+y^2=0
でzの二次方程式とみて判別式Dが0以上であることが当然必要で
D=x^2y^2-4(x^2+y^2)≧0

x^2y^2≧4(x^2+y^2)

またx≦yからx^2+y^2≧2x^2だから

x^2y^2≧4(x^2+y^2)≧8x^2

x^2y^2≧8x^2

y^2≧8
でyは正の整数だからy≧3でy≦3とあわせてy=3ときまります。

y=3を再び判別式に代入して
D=9x^2-4(x^2+9)≧0

5x^2≧36
xは正の整数だからx≧3でx≦y=3とあわせてx=3ときまります。

だから(x,y)=(3,3)で代入して
z^2-9z+18=0

(z-3)(z-6)=
よりz=3,6
よって(x,y,z)=(3,3,3),(3,3,6)


(2)
090729_m3.jpg

a^2+b^2+c^2=abc(a≦b≦c)…①
が成り立ってて
b^2+c^2+z^2=bcz(b≦c≦z)…②
が成り立っているとすると
①-②から(z-a)(z+a-bc)=0
よってz=-a+bc
としたら、
a^2+b^2+c^2=abc

b^2+c^2+z^2=bcz
は成り立つから後はb≦c≦zが成り立てばオッケーで
z-c=-a+bc-c=c(b-1)-a
b≧3から
z-c=c(b-1)-a≧2c-a≧2a-a=a>0
よってb≦c≦zも成り立ってるから②も成り立ってることがわかります。

(z-a)(z+a-bc)=0
でz=aはどないなるん?思いますが、z=aとすれば上手くいかないみたいで
(z-a)(z+a-bc)=0の式が成り立つようにzの値を決めたらええわけやからz=-a+bcとすればこの式は成り立つし②も満たすからオッケーなことになります。

(3)
090729_m4.jpg

色々示し方あると思いますが、背理法でやってみました。

まずは(A)を満たす(x,y,z)が存在することを示します。
これは(1)から(A)を満たす(x,y,z)は存在すると言えてます。

(A)を満たす(x,y,z)の組が有限個だと仮定すると、さっき書いたように(A)を満たす(x,y,z)は1個以上は存在してるからそのうちzが最大なものを(d,e,f)とでもして、(2)からg=-d+efとすればg>fで(e,f,g)は(A)を満たしてfが(A)を満たす(x,y,z)のうちzが最大であることに矛盾します。

なんか大学の数学でこんな感じの証明が多いような気がします。

東京大学の入試の数学の過去問の解説

高校数学の入試問題などの解説

整数問題の解法の解説と問題演習




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