受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

漸化式と極限の問題、東京大学2006年度理系第5問の解説
今日の天気は、あれやったな


東京大学2006年度理系第5問の解説


[問題]
090731_m1.jpg

a_1=1/2とし、数列{a_n}を漸化式
a_(n+1)=a_n/(1+a_n)^2 (n=1,2,3,…)
によって定める。このとき、以下の問いに答えよ。

(1)各n=1,2,3,…に対しb_n=1/a_nとおく。n>1のとき、b_n>2nとなることを示せ。

(2)lim(n→∞)(a_1+a_2+…+a_n)/nを求めよ。

(3)limn(n→∞)na_nを求めよ。


[解答と解説]
(1)
090731_m2.jpg

具体的にb_nが求められないこういう類の問題はたいがい数学的帰納法やな。

n>1ということはn≧2やからnが2以上でb_n>2nが成り立つことを数学的帰納法によって示したらよくて

(i)n=2の時
b_2=1/a_2=(1+a_1)^2/a_1=9/2>4
よってn=2の時、成立。

(ii)n=kの時、b_k>2kと仮定すると
b_(k+1)=1/a_(k+1)=(1+a_k)^2/a_k
=b_k+2+1/b_k
>b_k+2
>2k+2=2(k+1)

よってn=k+1の時も成立
(i)(ii)よりn>1のすべての自然数についてb_n>2nが成立


(2)
090731_m3.jpg

きっと(1)を使うんやろな。
b_1=2やからb_n≧2nで

Σ(k=1~n)a_k/n
=1/n・Σ(k=1~n)1/b_k
≦1/n・Σ(k=1~n)1/(2k)
=1/(2n)・Σ(k=1~n)1/k

ってなるからΣ(k=1~n)1/kの部分はk-1≦x≦kの範囲で1/k≦1/xだから、積分して
∫(k-1,k)1/kdx≦∫(k-1,k)(1/x)dx

1/k≦∫(k-1,k)(1/x)dx
からΣ(k=1~n)1/kはy=1/xの関数を積分してlog(n)とかで抑えられることが使われることがよくあって     、
(log(n))/n→0(n→∞)
ってことに注意すると、挟みうちで0と言えそうだから、
1/b_k>0にも注意して

0<1/n・Σ(k=1~n)1/b_k
≦1/(2n)・Σ(k=1~n)1/k
≦1/(2n)・(Σ(k=2~n)∫(k-1,k)(1/x)dx+1)
=1/(2n)・(∫(1,n)(1/x)dx+1)
=1/(2n)・([log(x)](1,n)+1)
=1/(2n)・(log(n)+1)→0(n→∞)

だから
lim(n→∞)Σ(k=1~n)a_k/n
=lim(n→∞)1/n・Σ(k=1~n)1/b_k
=0

この
1/(2n)・Σ(k=1~n)1/k
≦1/(2n)・(Σ(k=2~n)∫(k-1,k)(1/x)dx+1)
のとこは何回かやったことあるかもしれんけど

1/(2n)・Σ(k=1~n)1/k
≦1/(2n)・(Σ(k=1~n)∫(k-1,k)(1/x)dx)
=1/(2n)・(∫(0,n)(1/x)dx)

とやってしまうと、積分できなくなるから、k=1だけ別に足すのがコツやねんな。

(3)
090731_m4.jpg

(2)まではやったことあるような感じやけど、(3)はちょっと難しい。
でも(1),(2)はおそらく利用するはずやからな。
(2)の極限が(3)とまったく関係無いことはあまり無いと思う。

きっと誘導になってるはず。

考えられるのはΣ(k=1~n)a_kが変形出来るんではないか?ってことやな。

(1)でb_nを導入したからにはb_nを使って表せるかもしれん。
いや、ここで使わないとb_nを導入した意味が余りないから、きっと使うはず。

Σ(k=1~n)a_k=Σ(k=1~n)1/b_k

確か
b_(n+1)=b_n+2+1/b_n

と言う式やったから,1/b_nが出てきてるから

Σ(k=1~n)1/b_k
=Σ(k=1~n)(b_(k+1)-b_k-2)

これは階差数列の和になってるから計算出来て

Σ(k=1~n)(b_(k+1)-b_k-2)
=b_(n+1)-b_1-2n

と言うことは

Σ(k=1~n)a_k=b_(n+1)-b_1-2n

と見事に和がb_nで表せて

lim(n→∞)1/n・Σ(k=1~n)a_k=0

lim(n→∞)1/n・(b_(n+1)-b_1-2n)=0

lim(n→∞)b_(n+1)/n=2

と言うことは、b_n/n=1/(na_n)だから、もうこれで形が出来てるから

lim(n→∞)na_n=lim(n→∞)n/b_n
=lim(n→∞)1/(((n-1)/n)・(b_n/(n-1)))=1/2

ちょっと思いつきにくいけどな。
でも(1),(2)の誘導を使おうとすると、思いつきやすいと思う。

東京大学の入試の数学の過去問の解説

高校数学の入試問題などの解説




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