受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

三角比の問題、東京大学2006年度文系第一問の解説
今日も単ぱんでママと一緒におでかけするか。


東京大学2006年度文系第一問の解説

[問題]
四角形ABCDが,半径65/8の円に内接している。この四角形の周の長さが44で,辺BCと辺CDの長さがいずれも13であるとき,残りの2辺ABとDAの長さを求めよ。


[解答]
090806_m1.jpg

あかん、全然あかん。
とりあえず一回落ち着いて問題文を数式化していかなあかん。

まず簡単なのは四角形の周の長さが44やからABとDAの長さをx,yとおくと
x+y+13+13=44⇔x+y=18…[1]

それで四角形ABCDが,半径65/8の円に内接しているって条件は

○△BCDが半径65/8の円に内接する

○4点A,B,C,Dが同一円周上にある

と二つの条件にわけると数式化出来て、

△BCDが半径65/8の円に内接するは、正弦定理より∠BCD=Θとおくと
BD/sinΘ=2×65/8⇔BD=65sinΘ/4…[2]

BC=CD=13だからBDが決まれば△BCDの形が決まるからΘが決まって、反対にΘが決まれば△BCDの形が決まるからBDの値が決まるから、その関係式は余弦定理によって

BD^2=13^2+13^2-2・13・13cosΘ…[3]

とあらわされます。

それと4点A,B,C,Dが同一円周上にあるは、∠ABC+∠BCD=180°であればよかったから

cos∠ABC=-cos∠BCD

(x^2+y^2-BD^2)/2xy=-cosΘ…[4]


これで、四つの文字があって四つの式が出来たから解けそうです。
後は計算するだけです。
そう計算するだけ…

090806_m2.jpg

計算するだけやのになんでこんなことなるんやろ…



まあでも計算がややこしくなるのは東大の場合仕方ありません。
5人くらいしばきあげるつもりで計算してください。

090806_m3.jpg

まずは[2]と[3]の式からBDかΘを消去したらええけど、BDを消去して

65^2(sinΘ)^2/4^2=2・13^2(1-cosΘ)

(cosΘ-1)(cosΘ-7/25)=0

Θ≠0よりcosΘ≠1だからcosΘ=7/25

sinΘ=√(1-(7/25)^2)=24/25だから[2]より
BD=65sinΘ/4=78/5

これらを[4]に代入してx+y=18にも注意してxyの値を出そうとして

((x+y)^2-2xy-(78/5)^2)/(2xy)=-7/25

(18^2-2xy-(78/5)^2)/(2xy)=-7/25

xy=56

だからx+y=18,xy=56からx,yは次の二次方程式の解
t^2-18t+56=0⇔(t-4)(t-14)=0
t=4,14
したがってABとDAの長さは4と14、または14と4
って決まりました。


内容的にはそんなに難しいわけではないですが、しっかり式を洩れなく完璧に書いて計算間違いせずに複雑な計算して答えまでたどり着くのは結構難しいのが東大らしいとこです。
そういう特徴を掴んでいってください。

東京大学の入試の数学の過去問の解説

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