受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

整数問題と式と証明の問題、東京大学2006年度文系第3問の解説
栄養ドリンク飲みすぎて、ポンポン痛くなったセンター試験の気持ちでやろか。

東京大学2006年度文系第3問の解説

[問題]
090807_m1.jpg

nを正の整数とする。実数x,y,zに対する方程式
x^n+y^n+z^n=xyz…[1]
を考える。
(1)n=1のとき、[1]を満たす正の整数の組(x,y,z)で、x≦y≦zとなるものをすべて求めよ。

(2)n=3のとき、[1]を満たす正の実数の組(x,y,z)は存在しないことを示せ。


[解答と解説]
(1)
090807_m2.jpg

こういう整数問題があるとよく使う解法は、両辺が共通な文字で割れるように不等式を作って、範囲をしぼる方法です。
参考→整数問題…不等式の操作で解く解法

この問題ではx≦y≦zよりx+y+z=xyzでx+y+zが全部zで抑えれば3zになってzで割り切れるから
xyz=x+y+z≦z+z+z=3z
つまりxyz≦3zで正の整数zで両辺割ると
xy≦3
と範囲が出てきます。

これを満たすのはx,yは正の整数でx≦yだから

(x,y)=(1,1),(1,2),(1,3)
しかありません。

後は代入すると、x≦y≦zを満たしてzが正の整数になるのは

(x,y,z)=(1,2,3)です

(2)
x^3+y^3+z^3=xyzを満たす正の実数の組(x,y,z)が存在しないことを証明すると言うこういう問題は、一つの文字に注目してxの関数とみて

f(x)=x^3+y^3+z^3-xyz
=x^3-yzx+y^3+z^3

y>0,z>0の時これがx>0でf(x)=0になることが無いことを示すと言う解析的な手法を用いると何も考えずに機械的に簡単に出来てしまいます。

一見、代数的な問題に見えても、解析的に考えるとめちゃめちゃ簡単な計算するだけの問題になることが多いのでまず関数として考えられないか?ってことをやってみてください。

3次関数だから微分して
f'(x)=3x^2-yz
=3(x-√(yz/3))(x+√(yz/3))

x>0で増減表をかくと、x=√(yz/3)で最小値をとるから
f(x)≧f(√(yz/3))=(√yz)^3/(3√3)-√(yz)^3/√3+y^3+z^3
=(√y^3-√z^3/(3√3))^2+26z^3/27>0

よってf(x)=0となる正の実数xは存在しない。

したがって[1]を満たす正の実数の組(x,y,z)は存在しない。


こうやって解析的に考えれば計算だけで意図も簡単に機械的に出来るから、まずは関数として考えてみたりして欲しいねんな。


090807_m3.jpg

その他の考え方は、こういうx,y,zについて対称になってると、0<x≦y≦zとしても一般性を失わないってやるのもよくある解法やな。

それを使えば
xyz≦z^3
x^3+y^3+z^3=xyz≦z^3
より
x^3+y^3≦0

これを満たす正の実数x,yは存在しない。

よってx^3+y^3+z^3=xyzを満たす正の実数x,yは存在しない。


もう一つ、普通に式変形でやろうと頑張るとx^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)が使えそうやから

x^3+y^3+z^3-xyz
=x^3+y^3+z^3-3xyz+2xyz
=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)+2xyz
=1/2・(x+y+z)((x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2)+2xyz>0

って平方完成みたいなことをやればx^3+y^3+z^3-xyz≠0を示せます。

まあでもやっぱり一番機械的にやれるのは関数として考える方法だと思います。

東京大学の入試の数学の過去問の解説

高校数学の入試問題などの解説

整数問題の解法の解説と問題演習




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