受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

微分と絶対値の関数の問題、東京大学2006年度文系第4問の解説
ここまでくると手厚い保護が必要なペリカンの気分やな。

東京大学2006年度文系第四問の解説

[問題]
090807_m4.jpg

θは、0°<θ<45°の範囲の角度を表す定数とする。-1≦x≦1の範囲で、関数
f(x)=|x+1|^3+|x-cos2θ|^2+|x-1|^3
が最小値をとるときの変数xの値を,cosθで表せ。


[解答と解説]
090807_m5.jpg

東大の問題になれていたら、これはややこしい場合分けをひたすら要求してくるだけの問題やろなって見抜けます。
本当に工夫も何もなく普通の考え方の問題が多くて、ある意味では東大の問題は変わってるとも思えます。
それなのに、完答するのは難しいのが東大やな。

さっそく、これは0°<θ<45°だから0°<2θ<90°で0<cos2θ<1です。
また-1≦x≦1だからx+1≧0,x-1≦0だから|x+1|^3と|x-1|^3の絶対値は最初からとれています。

後はx-cos2θの正負で場合分けをコツコツするだけです。

(i)-1≦x≦cos2θの時(x-cos2θ≦0)
f(x)=(x+1)^3+(cos2θ-x)^3+(1-x)^3
=-x^3+(6+3cos2θ)x^2-3(cos2θ)^2x+2+(cos2θ)^3

微分して
f'(x)=-3(x^2-2(2+cos2θ)x+(cos2θ)^2)

これは2次関数やけど、-1≦x≦cos2θでは正負はどうなってるの考えれば、まず放物線の軸x=2+cos2θは-1≦x≦cos2θより右側にあって、端点を調べると
f'(cos2θ)=12cos2θ>0
f'(0)=-3(cos2θ)^2<0

だからこれは更に図も書いてみると、x=0とx=cos2θの間で一点で交わっている形です。

x=0は端点じゃなくてx=-1が端点やろ思いますが、単にf'(-1)を調べるよりf'(0)を調べる方が計算が楽だからf'(0)を調べただけです。
もちろんf(-1)が負であるって言って問題ありません、

それでx軸とy=f'(x)の共有点のx座標は
x^2-2(2+cos2θ)x+(cos2θ)^2=0
の解で
x=2+cos2θ±√(4(1+cos2θ))
=2+cos2θ±(2√2)cosθ

これで-1≦x≦cos2θで交わってる方の座標は
x=2+cos2θ-(2√2)cosθ
の方だから
-1≦x<2+cos2θ-(2√2)cosθでf'(x)<0
f(2+cos2θ-(2√2)cosθ)=0
2+cos2θ-(2√2)cosθ<x≦cos2θでf'(x)>0

とわかりました。

090807_m6.jpg

(ii)cos2θ≦x≦1の時(x-cos2θ≧0)
同じように

f(x)=(x+1)^3+(x-cos2θ)^3+(1-x)^3
=x^3+(6-3cos2θ)x^2+3(cos2θ)^2x+2-(cos2θ)^3

微分して
f'(x)=3(x^2+2(2-cos2θ)x+(cos2θ)^2)

これも放物線の軸はx=cos2θ-2

だからcos2θ≦x≦1より左側にあって端点f(cos2θ)=12cos2θ>0
で図も書いてみると、これはcos2θ≦x≦1でf'(x)>0となってることがわかります。


(i)(ii)y=f(x)の増減表を書くと

x=2+cos2θ-(2√2)cosθで最小になってることがわかります。


ここまでよう頑張ったな。

うんうん。

頭なぜなぜ。

東京大学の入試の数学の過去問の解説

高校数学の入試問題などの解説




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