受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

漸化式a_(n+1)=pa_n+q型を応用する解法と例題
漸化式の基本、a_(n+1)=pa_n+q型の解法と例題に続いて、漸化式の解説いっとこか。


ふにゅふにゅ。

そしたらa_(n+1)=pa_n+qの型にして解くタイプの漸化式のタイプを説明していこう思います。

○a_(n+1)=pa_n+r^nの型

090809_m1.jpg

この型はr^(n+1)で両辺を割って{r^na_n}って言う数列を考えるのがコツやねん。
a_(n+1)=pa_n+r^n

a_(n+1)/r^(n+1)=p/r・a_n/r^n+q/r

これでa_(n+1)=pa_n+qの型になるから後はわかりますね。

○a_(n+1)=p(a_n)^q(a_n>0)の型
これはそれほど見かけないけど、両辺対数をとることで例えば底をpとして対数をとって{log_p(a_n)}の数列を考えたらよくて
log_p(a_(n+1))=log_p(p(a_n)^q)
=log_p((a_n)^q)+log_p(p)
=qlog_p(a_n)+1

でa_(n+1)=pa_n+qの型になります。

底は何にしても解けると思うけど、a_nの係数のpにすると若干簡単かもしれん。

ただa_n>0でないと使えないから注意してください。


そしたら、こんな抽象的な文字でやっててもしゃあないから、例をやっていこか。

例,a_1=,a_(n+1)=2a_n+(-3)^n
の時、{a_n}を求めよ。

090809_m2.jpg

解答

両辺(-3)^(n+1)で割って{a_n/(-3)^n}をつくり出します。
a_(n+1)=2a_n+(-3)^n

a_(n+1)/(-3)^(n+1)=2/(-3)・a_n/(-3)^n-1/3

これでa_(n+1)=pa_n+qの型になるから計算用紙にa_(n+1)/(-3)^(n+1)とa_n/(-3)^nをxおいて
x=-2x/3-1/3
これを解いてx=-1/5で
a_(n+1)/(-3)^(n+1)=2/(-3)・a_n/(-3)^n-1/3
x=-2x/3-1/3
辺辺引いて
a_(n+1)/(-3)^(n+1)-x=-2/3・(a_n/(-3)^n-x)

と計算しておいて

090809_m3.jpg

a_(n+1)/(-3)^(n+1)=2/(-3)・a_n/(-3)^n-1/3

a_(n+1)/(-3)^(n+1)+1/5=-2/3・(a_n/(-3)^n+1/5)

{a_n/(-3)^n+1/5}は公比-2/3の等比数列で

a_n/(-3)^n+1/5=(a_1/(-3)+1/5)(-2/3)^(n-1)
=-4/5・(-2/3)^(n-1)

a_n=3/5・2^(n+1)-1/5・(-3)^n


例,a_1=√2,a_(n+1)=2(a_n)^3
の時、{a_n}を求めよ。

090809_m4.jpg

対数をとればいいねんけど正じゃないと対数はとれないから
まずa_n>0であることを数学的帰納法で証明します。
(i)n=1の時、a_1=√2>0より成立
(ii)n=kの時、a_k>0と仮定すると
a_(k+1)=2(a_k)^3>0
よってn=k+1の時も成立
(i)(ii)よりa_n>0

これで対数がとれて底を2とすると
a_(n+1)=2(a_n)^3
log_2(a_(n+1))=log_2(2(a_n)^3)
=3log_2(a_n)+1

これでa_(n+1)=pa_n+qの型になったから、同じように解いていって

090809_m5.jpg

まず計算用紙に
x=3x+1
とすると解はx=-1/2で
log_2(a_(n+1))=3log_2(a_n)+1
x=3x+1
辺々引いて
log_2(a_(n*1))-x=3(log_2(a_n)-x)

って計算しておいて

log_2(a_(n+1))=3log_2(a_n)+1

log_2(a_(n+1))+1/2=3(log_2(a_n)+1/2)

{log_2(a_n)+1/2}は公比3の等比数列で
log_2(a_n)+1/2=(log_2(a_1)+1/2)3^(n-1)

log_2(a_n)=(log_2(a_1)+1/2)3^(n-1)-1/2
=3^(n-1)-1/2
=log_2(2^(3^(n-1)-1/2))
よって
a_n=2^(3^(n-1)-1/2)

高校数学の公式や問題の解説




テーマ:算数・数学の学習 - ジャンル:学校・教育

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