受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

漸化式a_(n+1)=pa_n+(m次多項式)の型の解法と例題
漸化式の解法で今度は、

a_(n+1)=pa_n+f(n)
(f(n)はm次多項式)

の型の解法を説明したいと思います。


ふにゅ。


そしたら、まず1次の式から説明します。

○a_(n+1)=pa_n+qn+rの型

090809_m6.jpg

p=1の時は、階差数列で解く型になります。

p≠1の時、a_n=αn+βとおきかえてみます。
すると
α(n+1)+β=p(αn+β)+qn+r

αn+α+β=(pα+q)n+pβ+r
これが全ての自然数nで成立するには係数を比較して
nの係数
α=pα+q
定数部分
α+β=pβ+r
これらをとくと
α=q/(1-p),β=r/(1-p)-q/(1-p)^2

α,βがこの値ならα(n+1)+β=p(αn+β)+qn+rが全ての自然数nで成り立っていて

a_(n+1)=pa_n+qn+r
α(n+1)+β=p(αn+β)+qn+r

のふたつの式を見比べて、辺々引くと

a_(n+1)-α(n+1)-β=p(a_n-αn-β)

と{a_n-αn-β}って言う数列が公比pの等比数列になって解けるようになります。

よって
a_n-αn-β=(a_1-α-β)p^(n-1)

a_n=αn+β+(a_1-α-β)p^(n-1)


そしたらm次多項式の時はどうなるかと言うと、同じようにやります。

○a_(n+1)=pa_n+f(n)(f(n)はm次多項式)

090809_m7.jpg

p=1の時は、階差数列で解く型になります。

p≠1の時は、a_n=Σ(k=0~m)c_kn^kとおいて
a_(n+1)=pa_n+f(n)に代入して全ての自然数nに対して成り立つようにc_1,c_2,…,c_mを求めます。

それで
a_(n*1)=pa_n+f(n)
Σ(k=0~m)c_k(n+1)^2=pΣ(k=0~m)c_kn^k+f(n)
の式を辺々引いて
a_(n+1)-Σ(k=0~m)c_k(n+1)^2=p(a_n-Σ(k=0~m)c_kn^k)

これで{a_n-Σ(k=0~m)c_kn^k}は公比pの等比数列になってます。

だからa_n=(a_1-Σ(k=0~m)c_kn^k)p^(n-1)+Σ(k=0~m)c_kn^k

と解けるねん。


ちょっと文字で一般的に語り合うと抽象的でわかりにくいかもしれんな。

とりあえず例をみていったってくれ。

例で解き方を覚えるもんやからな。


まず一次式の例から

例,a_1=6,a_(n+1)=2a_n-3n+2
の時、{a_n}を求めよ。

090809_m8.jpg

解答

まず計算用紙にa_nをαn+β、a_(n+1)をα(n+1)+βとおいた式を計算してみて

α(n+1)+β=2(αn+β)-3n+2
とするとこれが全ての自然数nで成立するには係数を比較して
α=2α-3
α+β=2β+2

α=3,β=1
よって
a_(n+1)=2a_n-3n+2
3(n+1)+1=2(3n+1)-3n+2

辺々引いて
a_(n+1)-3(n+1)-1=2(a_n-3n-1)
ここまで計算用紙に計算しておいて

a_(n+1)=2a_n-3n+2

a_(n+1)-3(n+1)-1=2(a_n-3n-1)
{a_n-3n-1}は公比2の等比数列より
a_n-3n-1=(a_1-3-1)2^(n-1)

a_n=3n+1+2^n


次は2次式の例を説明しよかな。

例a_1=9,a_(n+1)=2a_n-3n^2+2n+3

090809_m9.jpg

解答

まず計算用紙にa_(n+1)をα(n+1)^2+β(n+1)+γに、a_nをαn^2+βn+γに置き換えた式を書いて

α(n+1)^2+β(n+1)+γ=2(αn^2+βn+γ)-3n^2+2n+3

αn^2+(2α+β)n+α+β+γ=(2α-3)n^2+(2β+2)n+2γ+3

これが全ての自然数nに対して成り立つにはn^2とnの係数と定数を比較して

α=2α-3
2α+β=2β+2
α+β+γ=2γ+3

α=3,β=4,γ=4

だから
3(n+1)^2+4(n+1)+4=2(3n^2+4n+4)-3n^2+2n+3
と言う式が全てのnについて成り立っていて

a_(n+1)=2a_n-3n^2+2n+3
3(n+1)^2+4(n+1)+4=2(3n^2+4n+4)-3n^2+2n+3

これを辺々引いて
a_(n+1)-3(n+1)^2-4(n+1)-4
=2(a_n-3n^2-4n-4)

ここまで計算用紙にしといて


a_(n+1)=2a_n-3n^2+2n+3

a_(n+1)-3(n+1)^2-4(n+1)-4
=2(a_n-3n^2-4n-4)

{a_n-3n^2-4n-4}は公比2の等比数列だから

a_n-3n^2-4n-4=(a_1-3n^2-4n-4)2^(n-1)

a_n=3n^2+4n+4-2^n



これも前に漸化式の基本、a_(n+1)=pa_n+q型の解法と例題で書いた書いたのと同じで
a_(n+1)=pa_n+f(n)
(f(n)はm次多項式)
はa_1を決めなければ無数の解が存在して、そのうちの一つはa_n=Σ(k=0~m)c_kn^kを代入してc_1,c_2,…,c_mが求められてa_n=Σ(k=0~m)c_kn^kが解になってます。
これを特殊解とか言って、これを求めておくと
a_(n+1)=pa_n+f(n)
Σ(k=0~m)c_k(n+1)^k=pΣ(k=0~m)c_kn^k+f(n)
で辺々引いて
a_(n+1)-Σ(k=0~m)c_k(n+1)^k=p(a_n-Σ(k=0~m)c_kn^k)
となって一般解が求めるようになります。

これは特に大学の微分方程式とかで大切な考え方だから、まあ余分な話なんでなんかまたわけわからんこと言うてるわって流しておいてください。


じゃあ最後に応用を。

○a_(n+1)=pa_n+f(n)+q・r^nの型
(f(n)はm次多項式)

090809_m14.jpg

これは、今までのを応用させたらよくて
p=1の時は階差数列で簡単に求まります。

p≠1の時は、まずa_n=Σ(k=1~m)c_kn^kとおいてa_(n+1)=pa_n+f(n)に代入して係数を比較してc_1,c_2,…,c_mを求めます。
すると
Σ(k=1~m)c_k(n+1)^k=pΣ(k=1~m)c_kn^k+f(n)
と言う式がすべての自然数nで成立しますが

a_(n+1)=pa_n+f(n)+q・r^n
Σ(k=1~m)c_k(n+1)^k=pΣ(k=1~m)c_kn^k+f(n)
この二式を辺々引いて

a_(n+1)-Σ(k=1~m)c_k(n+1)^k=p(a_n-Σ(k=1~m)c_kn^k)+q・r^n

と言う式ができて数列{a_n-Σ(k=1~m)c_kn^k}を考えればこれは
a_(n+1)=pa_n+q・r^n
の型になって解けます。

これは、しんどいな。

と言うことで例もかねて練習問題も作っておきました。

a_(n+1)=3a_n-2n^2+2n+1+2^n
a_1=1の時、{a_n}を求めよ。
090809_m15.jpg
とりあえず模範解答だけ書いておきました。

高校数学の公式や問題の解説




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