受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

図形問題の最短距離になるように点をとる問題の解き方
今日は中学でよくある図形問題の最小の長さになる問題を解説したいと思います。

これは大学受験でも使うから、注意したってください。


ポイントはこれです。

090809_m13.jpg

またあほがなんか言うてますが、直線になるように考えます。
直線になるような時が最小になるねんな。


ただ直接直線を考えるのは難しくて、ちょっとした工夫が必要になるねん。


まずこんな問題から

[問題]
xy平面上に2点,A(0,1),B(4,2)がある。
x軸上に点Pをとり、AP+BPが最小になるような点Pの座標とその時のAP+BPの値を求めよ。

[解答と解説]
この手の問題は点B(4,2)をx軸について対称移動させた点B'(4,-2)を考えるのがコツやねん。

090809_m10.jpg

そしたらBP=B'PやからAP+BP=AP+B'PでAP+B'Pが最小になるようなのを考えたらいいから、それは直線になる時でPが直線AB'とx軸との交点をP'とすると、点Pが点P'に一致する時になります。

こうやって対称な点を考えると直線に出来るねん。


もう少し数学的にかくとしたら、これは高校生が書くような解答になるから無視してくれたらええねんけど

AP+BP=AP+B'P≧AB'(三角不等式)
で点Pが直線AB'とx軸との交点の時AP+BP=AB'だから、この時に最小になる。

これはAP+BPはAB'以上で、AP+BP=AB'になるような点PがあればAB'が最小の値になるけど、それはPが直線AB'とx軸との交点の時でちゃんと存在してるからこの時に最小って言えるってことやねん。

090809_m11.jpg

それで値を求めていくと三平方の定理から
AB'=√((4-0)^2+(-2-1)^2)
=√(16+9)=√25=5

だからAP+BPが最小になる時の値は5で、点Pは直線AB'とx軸との交点を求めて
直線AB'は傾きは(-2-1)/(4-0)=-3/4でy切片が1より
直線AB':y=-3/4・x+1
x軸との交点はy=0を代入して
0=-3/4・x+1からx=4/3
だからPは(4/3,0)



もう一つ今度は立体図形でよくある問題です。

[問題]
AE=5,AB=3,AD=6の直方体ABCD-EFGHがある。
点Pを辺BC上にとる。
AP+GPが最小になるように点Pをとるとき、AP+GPの値を求めよ。

[解答と解説]
090809_m12.jpg

これは立体図形のまま考えるとようわかりませんが、展開すると簡単で
図のように展開したらAP+GPは直線になる時が最小やから、直線AGが辺BCと交わる交点をP'とすると、点Pが点P'に一致する時にAP+GPは最小になります。

こうやって展開したら直線に出来るねんな。

それでこの時AP+GPは
√((3+5)^2+6^2)=√(64+36)=√100=10

中学数学の公式や問題の解説

高校数学の公式や問題の解説




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