受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

漸化式、隣接三項間漸化式a_(n+2)=pa_(n+1)+qa_nの解法と例題
引き続いて今回は隣接三項間漸化式いっとこか。


○a_(n+2)=pa_(n+1)+qa_nの型

090810_m1.jpg

これはまず理由の前にa_(n+2)=x^2,a_(n+1)=x,a_n=1とおいた二次方程式を考えてください。
x^2=px+q

x^2-px-q=0…[1]

特性方程式とか言うねんけどな。
それでまずこれが異なる二つの解を持つ場合を考えると

(i)[1]が異なる二つの解α,βを持つ時

解と係数の関係から
α+β=p
αβ=-q
だから
p=α+β
q=-αβ
で漸化式をα、βで表すと
a_(n+2)=(α+β)a_(n+1)-αβa_n

a_(n+2)-αa_(n+1)=β(a_(n+1)-αa_n)

a_(n+2)-βa_(n+1)=α(a_(n+1)-βa_n)

と言うように

{a_(n+1)-αa_n}は公比βの等比数列
{a_(n+1)-βa_n}は公比αの等比数列

の二つの漸化式ができます。

だから
a_(n+1)-αa_n=(a_2-αa_1)β^(n-1)
a_(n+1)-βa_n=(a_2-βa_1)α^(n-1)
と二つ出来るから、後は辺々引いたらa_(n+1)が消えて
(β-α)a_n=(a_2-αa_1)β^(n-1)-(a_2-βa_1)α^(n-1)

a_n=1/(β-α)・{(a_2-αa_1)β^(n-1)-(a_2-βa_1)α^(n-1)}

と求まります。

むしろ二次方程式の意味は
a_(n+2)-αa_(n+1)=β{a_(n+1)-α_n}と言う形にしたいから、α,βを求めるには
a_(n+2)=(α+β)a_(n+1)-αβa_n
でα+β=p,αβ=-q
よりα,βの次の二次方手式の解となる
x^2-px-q=0
これはa_(n+2)=pa_(n+1)+qa_nにおいてa_(n+2)=x^2,a_(n+1)=x,a_n=1とおいた二次方程式と一致する。
と考えるのが自然やねんけど、実はうまくいく理由がもうちょっと深い意味があるから、いきなりa_(n+2)=x^2,a_(n+1)=x,a_n=1とおいてくれと書いています。
それは後から書きます。


(ii)[1]が重解αを持つ時

090810_m2.jpg

解と係数の関係から
2α=p
α^2=-q
つまり
p=2α
q=-α^2
で漸化式をαであらわすと
a_(n+2)=2αa_(n+1)-α^2a_n

a_(n+2)-αa_(n+1)=α(a_(n+1)-α_n)
と変形できて
{a_(n+1)-αa_n}は公比αの等比数列
より
a_(n+1)-αa_n=(a_2-αa_1)α^(n-1)

さっきと違って一つしか式ができませんが、ここまでわかれば
a_(n+1)=pa_n+q・r^nの型になってるから解けます。


と言うことで抽象的にやってても、わけわからんから例いっとこか。

例,a_(n+2)=3a_(n+1)+10a_n,a_1=1,a_2=2の時,{a_n}を求めよ

090810_m3.jpg

解答
まず計算用紙に特性方程式書いておきましょう。
解答に書いててもええと思うけど。

特性方程式は
x^2=3x+10⇔(x-5)(x+2)=0
でx=5,-2だから
a_(n+2)=(5-2)a_(n+1)-5(-2)a_n

a_(n+2)-5a_(n+1)=-2(a_(n+1)-5a_n)

a_(n+2)+2a_(n+1)=5(a_(n+1)+2a_n)

って計算しておきます。
説明やからこう書いてるけど、こんな大げさにせんでええけどな。
xの値求まったらわかると思うし。

それで解答は
a_(n+2)=3a_(n+1)+10a_n

a_(n+2)-5a_(n+1)=-2(a_(n+1)-5a_n)

a_(n+2)+2a_(n+1)=5(a_(n+1)+2a_n)

よって
{a_(n+1)-5a_n}は公比-2の等比数列
{a_(n+1)+2a_n}は公比5の等比数列
よって
a_(n+1)-5a_n=(a_2-5a_1)(-2)^(n-1)
-3(-2)^(n-1)…[1]
a_(n+1)+2a_n=(a_2+2a_1)5^(n-1)
=4・5^(n-1)…[2]

[2]-[1]:
7a_n=4・5^(n-1)+3(-2)^(n-1)
よって
a_n=1/7・(4・5^(n-1)+3(-2)^(n-1))


次は重解になるような例をいっとこか。

例,a_(n+2)=6a_(n+1)-9a_n,a_1=1,a_2=6
の時、{a_n}を求めよ

090810_m4.jpg

解答
まず計算用紙に特性方程式を書いて
x^2=6x-9

(x-3)^2=0
よりx=3
だから
a_(n+2)=(3+3)a_(n+1)-9a_n

a_(n+2)-3a_(n+1)=3(a_(n+1)-3a_n)

って計算しておいて解答は
a_(n+2)=6a_(n+1)-9a_n

a_(n+2)-3a_(n+1)=3(a_(n+1)-3a_n)
{a_(n+1)-3a_n}は公比3の等比数列
a_(n+1)-3a_n=(a_2-3a_1)・3^(n-1)
=3^n
これはa_(n+1)=pa_n+q・r^nの型やからn+1)で両辺割ってたらよくて

a_(n+1)/3^(n+1)=a_n/3^n+1/3

これはa_(n+1)/3^(n+1)とa_n/3^n の差が1/3だから{a_n/3-n}は公差が1/3の等差数列で

a_n/3^n=a_1/3+(n-1)・1/3

a_n=3^(n-1)+(n-1)3^(n-1)



これで隣接三項間漸化式の基礎的なことはオッケーやな。
たぶんな。

ところで特性方程式に深い意味があるって書いたのは

090810_m5.jpg

a_(n+2)=pa_(n+1)+q
の特性方程式
x^2=px+q
の解をα,βとすると
α^2=pα+q
β^2=pβ+q
がなりたつけ、これの上の式の両辺にα^n、下の式の両辺にβ^nをかけると
α^(n+2)=pα^(n+1)+qα^n…[1]
β^(n+2)=pβ^(n+1)+qβ^n…[2]
でa_1,a_2を定めなかったら、a_(n+2)=pa_(n+1)+qの解は無数にあるけど
a_n=α^nとa_n=β^nが一つの解になってるねん。

だから定数AとBを用いて
[1]×A+[2]×Bを考えると
Aα^(n+2)+Bβ^(n+2)=p(Aα^(n+1)+Bβ^(n+1))+q(Aα^n+Bβ^n)

a_n=Aα^(n+1)+Bβ^(n+1)
も解になってて、これが一般解でa_1とa_2を定めたらA,Bが定まるようになってます。

この詳しい話については興味あればまた前に書いた隣接三項間漸化式でも参照しておいてください。



そしたら、応用問題を書いておきますわ。

090810_m6.jpg

a_(n+2)=pa_(n+1)+qa_n+r
a_(n+2)=pa_(n+1)+qa_n+r・s^n
a_(n+2)=pa_(n+1)+qa_n+(nの多項式)

とか言う形があればまず同じように特性方程式を考えて

x^2=px+qの解をα,βとするとa_(n+2)-pa_(n+1)-qa_nの部分は
a_(n+2)-pa_(n+1)-qa_n
=(a_(n+2)-αa_(n+1))-β(a_(n+1)-αa_n)

って変形できて

(a_(n+2)-αa_(n+1))-β(a_(n+1)-αa_n)=r

(a_(n+2)-αa_(n+1))-β(a_(n+1)-αa_n)=r・s^n

(a_(n+2)-αa_(n+1))-β(a_(n+1)-αa_n)=(nの多項式)

と言う形に変形できるからこれは数列{a_(n+1)-αa_n}を考えれば

a_(n+1)=pa_n+qやa_(n+1)=pa_n+q・r^nやa_(n+1)=pa_n+(nの多項式)
の型になるから
{a_(n+1)-αa_n}が求まります。

同様にして{a_(n+1)-βa_n}も求まります・



これを踏まえて次の問題をやってみください。

[問題]
a_(n+1)+5a_(n+1)+6a_n=12n^2+2n+14
a_1=1,a_2=4の時{a_n}を求めよ。

090810_m7.jpg


これは計算がしんどい問題やな。
一応、模範解答用意しとくわ。

090810_m8.jpg

実際には計算用紙にめっちゃ計算してるけどこれ。

高校数学の公式や問題の解説




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