受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

(京大理系甲)得点1~nが等しい確率で得られるゲームを3回繰り返す時、2回目の得点が1回目の得点以で、3回目の得点が2回目の得点以上となる確率を求めよ
この前の小問の次の問題で京大2007年度の数学理系甲の問題を今日はやります。

まあ小問形式は無くなるかもしれんし、甲はあまりたくさん受けないと思いますがさすが京大の問題だけにどこを受けるにも関係無く勉強するのに良い問題です。
勉強してる時は京大は良問やって聞かされ続けて何のこっちゃ思ってましたが、やっぱりこういう記事を書くとなると良さがわかってきました。


[問題]
080529_6.jpg

得点1,2,…,nが等しい確率で得られるゲームを独立に3回繰り返す。
このとき、2回目の得点が1回目の得点以上であり、さらに3回目の得点が2回目の得点以上となる確率を求めよ。



[解答・解説]
まずは得点の出方の総数を求めます。
080529_1.jpg

確率の一つの基本的な求めかたは場合の数を使います。
そら当たり前ですが場合の数を使う時に少し注意があります。

同様に確からしい根元事象を考えて場合の数を求めます。

例えば
○が書かれたカードが2枚、
×が書かれたカードが1枚があるとします。

これからは○が書かれたカードを選ぶ確率は2/3なのは直感的にわかりますが、

場合の数でやると
カードを取り出すすべての場合の数は
○と×の2通り

○が出る場合の数は○だけなので1通り
だから確率は
1/2
とわけわからんことになってウナコーワを背中に塗りまくって気絶することになります。

これは○が2枚あって×より多いから○と×は同様に確からしい根元事象では無いからです。
普通の場合の数と、確率で言う場合の数は少し違って確率で言う場合の数は同様に確からしい根元事象で場合の数のことです。
だから二つの○のカードにそれぞれ1と2って数字を書いたりして区別すると
1、2、×が出るのはそれぞれ同様に確からしい根元事象になって
2/3
と求まります。



確率の基本的な話をしたとこで、この問題では1回目の得点Xと2回目の得点Yと3回目の得点Zとすると(X,Y,Z)になるのは同様に確からしい根元事象なので単純に場合の数を求めればよいわけです。

その総数は1回目がn通り、2回目もn通り、3回目もn通りだから
n^3通りです。

ここまでは大丈夫ですね。


後は2回目の得点が1回目の得点以上であり、さらに3回目の得点が2回目の得点以上となる場合の数を求めますが、ここからが血吐いて倒れます。


方法として二つぐらい考えてみました。
まずは重複組み合わせを使う方法です。
とは言っても重複組み合わせを使おうとするんじゃなくて、結果的に重複組み合わせを使うことになってしまっただけです。
だから図を書いて棒で区切りを入れてみる方法を考えます。
どっちか言うとこの方法が図を書いて考察して数式を立てる理想的な思考法でまずはこっちを考えてほしいです。
080529_2.jpg

n=10で具体的に考えてみます。
1~10まで書いてみましょう。

すると例えば一回目3点をとったすると次は3点以上をとらなければなりません。
とりあえず3の右に棒を入れてみます。
次は3点以上だから、この棒より右に入れることになります。

例えば5の右に棒を書いたら2回目は5点で次は5点以上です。
最後に棒を8の横に書いたら3回目は8点で終了です。

さらに
例えば2回目が6での右に棒を書いて、次に同じとこに棒を書くと3回目も6点と考えられます。

080529_3.jpg

また棒を入れうる場所は、1の左に入れると0点になってしまうから1より右で10の右に入れても10点だから10の右までオッケーで10箇所あります。

と言うことは10箇所から重複を許して3個棒を入れる場所を選ぶ方法を考えればいいわけです。
それは
10_H_3=(10+3-1)_C_3=12_C_3
でした。
nの場合は
nH3=(n+3-1)_C_3=n+2)_C_3
通りです。


解答としては、図を書いて
1~nのある数字の右に棒を書き、その数字を1回目の点数として
その棒と同じか場所かそれより右にもう一つ棒を書いてその左にある数字が2回目の得点
、さらにもう一つ同じように棒を書いて3回目の得点を決めるとすると棒を入れる場所は1の右からnの右までのn箇所でn箇所から重複を許して3つ棒を入れる場所を選ぶ方法を考えれば良いから
nH3=(n+3-1)_C_3=n+2)_C_3
通りって感じでよいと思います。



もう一つの方法は定石的です。
整数問題のいつもパターンを使います。
080529_4.jpg

1回目の得点Xと2回目の得点Yと3回目の得点Zとすると
1≦X≦Y≦Z≦n
となる整数X,Y,Zの組の総数を求めよって言う整数問題みたいになります。

これは
1≦X<Y<Z≦n
ならやったことあるかもしれません。
単にnから三つ数字を選んで、それを小さい順に並べてX,Y,Zとすれば良かったから
nC3です。

そこで整数問題でよく使うのがm,nを整数とすると
m<n⇔m+1≦n
です。

これは具体的ん言うと3より大きいってことは4以上、4以上ってことは3より大きいってことです。


そこで整数問題でよく使うのがm,nを整数とすると
m<n⇔m+1≦n
です。


さて使ってみましょう。
使う時には

m,nを整数とすると
m<n⇔m+1≦n
に注意します、うへ~。



1≦X≦Y≦Z≦n

1≦X<Y+1≦Z+1≦n+1

まずはXとYのとこに使います。

1≦X<Y+1≦Z+1≦n+1

1≦X<Y+1<Z+2≦n+2

とY+1、Z+1のとこに使います。

これで完成しました。


後はX、Y+1、Z+2の組はn+2から3個選べばよかったから(n+2)_C_3です。
X、Y+1、Z+2の組が決まればX,Y,Zが一対一に対応して決まるから(n+2)_C_3通りです。

例えば
(X,Y+1,Z+2)=(2,3,9)は(X,Y,Z)=(2,2,7)に対応
080529_5.jpg


答えは
(n+2)_C_3/n^3=
(n+2)(n+1)/6n^2
です。

高校数学の問題と解説

京都大学の入試の数学の過去問の解説

整数問題の解法の解説と問題演習




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