受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

比例と反比例の関係とグラフと変域
比例と反比例について今日は説明したい思います。


比例と反比例は、悪いけど言わせてもらうとこんな感じや。

090814_m1.jpg

比例は僕と君とのラプソディー

反比例は僕の汚れきった心にワンモアリテラシー


どういう意味やねん!


比例って言うのは

x,yを変数,aを0でない定数として
y=ax
と書かれる時に、yはxに比例する、または正比例すると言うねん。

それでaを比例定数と言うねん。


まあy=axが比例って数式で言われると、わかりにくいかもしれんけど、こう書けたら比例って覚えた方が複雑になってきた時とかに間違えることが少なくなると思う。


変数って言うのは値が変わるもので、定数は値が変化しないもので問題とかの文脈で何が変数かで何が定数かは変わるから気を付けたってくれ。


こういう
y=ax
と書けるのは、例えば速度5m/秒で一定の時に移動距離をym、経過時間をx秒とすると
y=5x
と言う関係が成り立ってるねん。

1秒たつと,x=1を入れて計算するとy=5になるから5m進んでいて

2秒たつと,x=2を入れてy=10になるから10m進んでいて

3秒たつと、x=3を入れてy=15になるから15m進んでいることがわかると思います。


こうやってyがxに比例してる時、xが2倍,3倍,…ってなるとyも2倍,3倍,…になるって言う性質があるねん。


こういうyがxに比例してる時、xを横軸、yを縦軸にしてグラフにすると


原点を通る直線になってるねん。


090814_m2.jpg

それで比例定数が大きいと傾きが急で、小さくなるにしたがって緩やかになってきて

090814_m3.jpg

0になるとx軸と一致してしまうねん。
まあxに何を入れてもyの値は0になるからな。

090814_m4.jpg

090814_m5.jpg

それで比例定数が負になると、傾きが下向きになって、どんどん小さくすると傾きが下向きに急になっていくねん。



次に反比例とは

x,yを変数、aを定数として
y=a/xまたはxy=a
と書かれるときyはxに反比例すると言って、aのことを比例の時と同じように比例定数と言うねん。


こうやって
y=a/x
とかけるのは、例えば面積が10平方メートルで一定の長方形で、xmを長方形の横の長さ、ymを長方形の縦の長さとすると
y=10/x
が成り立つねん。

横の長さが1mやと、x=1を代入して計算したらy=10より縦の長さが10m
横の長さが2mやと、x=2を代入してy=5で縦の長さ5m
横の長さが5mやと、x=5を代入してy=2で縦の長さ2m

こうやってyがxに反比例してると、xが2倍,3倍ってなるとyが1/2倍,1/3倍になる性質があります。


yがxに反比例してる時、グラフをかいてみると


こういう風になってるねん。

090814_m6.jpg

比例定数が正の時は右上と左下に同じ形の曲線が出来るねん。
比例定数は0に近いほど原点側にカーブが近づいてるのがたぶんわかります。

090814_m7.jpg

比例定数が負の時は左上と右下に同じ形の曲線が出来て、
比例定数が0に近いほど原点側にカーブが近づいてるのがたぶんわかります。


この曲線はず~っと上の方とか右の方とかにいけば、いつかx軸とかy軸にぶつかると言うことはなくて限りなくx軸やy軸に近づいていくだけです。
これは想像するのは難しいけどx軸やy軸にぶつかると言うことはyが0の値をとった時と、xが0の値をとった時のことやけど数式から言うと
xy=a
でaは0違うのにx=0とかy=0とか入れたら、xyの値は0になってしまうからこの数式が成り立たへんねんな。
だからx軸やy軸にぶつかることはないねん。

まあ、この考え方は高校生の理系の数学3Cの極限とかで習うくらいやから難しいねんけどな。

そもそもこれは双曲線って言うねんけど小学生や中学生でてくるグラフやのに、比例のグラフと違ってこれを扱うのは実は難しくて次このグラフを習うのも高校で理系に進んだ人が数学3Cでやる時ぐらいやからな。


090814_m8.jpg

でも数学3Cまで習うとこんな曲線で囲まれた部分の正確な面積の値がわかります。

まあそれはまたおっさんがなんか言うてるなって放っておいてと。



最後に変域のことだけ書いておくと、変域とは変数のxやyのとり得る値の範囲のことで

090814_m9.jpg

例えばy=5xと言うグラフでxの変域が3≦x≦4であったとすると、xはこの3以上、4以下の値だけをとりえるねんけど、グラフを見るとこの時yは15以上20以下の値しかとりえないからyの変域は15≦y≦20になるねん。

y=5xでxの変域が3<x<4なら端の値はとらないから、yの変域は15<y<20になります。

xの変域が3≦x<4なら、x=3は入ってx=4の方は入らないからyの変域も15は入って20は入らなくて15≦y<20やな。



090814_m10.jpg

y=10/xと言うグラフでxの変域が2≦x≦5であったとしたら、グラフからyの値は2以上5以下の値しかとりえないからyの変域は2≦y≦5。
xの変域が2<x<5ならyの変域は2<y<5
xの変域が2<x≦5ならx=2は入らないから対応してるyの値5が入らなくて、x=5は入るから対応してるyの値2は入ってyの変域は2≦y≦5になります。

変域を考える時はグラフとセットで考えるのがやっぱええかなあ。

中学数学の公式や問題の解説




テーマ:算数・数学の学習 - ジャンル:学校・教育

▲ページトップへ
この記事に対するトラックバック
トラックバックURL
→http://kazuschool.blog94.fc2.com/tb.php/350-06d22c77
この記事にトラックバックする(FC2ブログユーザー)
▲ページトップへ
プロフィール

わんこら

Author:わんこら
京都大学理学部で数学と物理を勉強し、数学を専攻しました。
東京で数学と物理の講師やってます

わんこら日記で日記とか勉強の仕方とか書いています

わんこら式数学の勉強法

メール
迷惑メールにされる危険性があるので出来るだけ
kazuyuki_ht○guitar.ocn.ne.jp
(○を@にしてください)に送ってください
勉強とかでどんな悩み持ってるかなど色々と教えてくれると嬉しいです。
わんこら式のやり方についてのメールはわんこら式診断プログラムを参考にしてください

詳しいプロフィール

人気blogランキングへ



にほんブログ村 受験ブログへ



学生広場

相互リンクも募集してます。

何かあれば
kazuschool_ht★yahoo.co.jp
かメールフォームからメールください。
(★を@にしてください)

カテゴリー

メールフォーム

名前:
メール:
件名:
本文:

FC2カウンター

リンク

このブログをリンクに追加する

お勧めの参考書、ノート

数学でお勧めのノートは
KOKUYOの無地
理由




センター試験は過去問が大切


チャートが終わったらお勧め
大学への数学1対1シリーズ
数学1


数学A


数学2


数学B


数学3


数学C

月別アーカイブ

ブログ内検索

RSSフィード

最近のトラックバック

ブロとも申請フォーム

この人とブロともになる

  1. 無料アクセス解析