受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

漸化式に和を含む式の解法と例題
漸化式シリーズももうメインは終わったけど、後は適当に紹介していきますわ。


今回は和を含む漸化式の解き方な。

090815_m1.jpg

数列{a_n}において
S_n=Σ(k=1~n)a_k
とすると
a_1=S_1
a_n=S_n-S_(n-1)(n≧2)


まあこれだけですわ。

なんかS_nからa_nを求めろ言われたら一見難しそうやけど、見れば結構当たり前やねんな。

一応注意せなあかんのは、
a_n=S_n-S_(n-1)はn≧2で成り立つもんであって、a_1はS_1と同じってとこがこれも当たり前やねんけど、たまに何故か気づかんかったりするとこかな。


距離が近すぎて自分の妹が好きなことに気づかんかったりすることよくあるのと同じやな。


そしたら一応例題を。


数列{a_n}において
S_n=Σ(k=1~n)a_kとする。
a_1=1,a_(n+1)=2a_n+S_n(n=1,2,3,…)
が成立する時、a_nをnの式で表せ。

090815_m2.jpg

[解答]
a_(n+1)=2a_n+S_n…[1]
と一応名前つけておいて、S_nをa_nの式にするにはa_n=S_n-S_(n-1)を使うから[1]でnをn-1に置き換えた式を考えて
a_n=2a_(n-1)+S_(n-1)(n≧2)…[2]

[2]はn≧2で成り立つことに注意しといてください。

[1]-[2]:
a_(n+1)-a_n=2a_n-2a_(n-1)+a_n(n≧2)

a_(n+1)-4a_n+2a_(n-1)=0(n≧2)
これでnをn+1で置き換えた式を考えるとn≧1で成り立つことになるから


a_(n+2)-4a_(n+1)+2a_n=0(n≧1)

といつもの三項間漸化式になります。

090815_m3.jpg

だからa_2が必要になってくるから[1]でn=1とおいて
a_2=2a_1+S_1=2a_1+a_2=3

計算用紙にa_(n+2)をx^2,a_(n+1)をx、a_nを1と置き換えた特性方程式を書いて計算して
x^2-4x+2=0
x=2±√2

だから
a_(n+2)-4a_(n+1)+2a_n=0

(a_(n+2)-(2-√2)a_(n+1))=(2+√2)(a_(n+1)-(2-√2)a_n)
(a_(n+2)-(2+√2)a_(n+1))=(2-√2)(a_(n+1)-(2+√2)a_n)

と変形できて
{a_(n+1)-(2-√2)a_n}は公比2+√2の等比数列
{a_(n+1)-(2+√2)a_n}は公比2-√2の等比数列

だから
a_(n+1)-(2-√2)a_n=(a_2-(2-√2)a_1)(2+√2)^(n-1)
=(1+√2)(2+√2)^(n-1)
=1/√2・(√2+2)(2+√2)^(n-1)
=1/√2・(2+√2)^n…[3]

a_(n+1)-(2+√2)a_n=(a_2-(2+√2)a_1)(2-√2)^(n-1)
=(1-√2)(2-√2)^(n-1)
=-1/√2・(-√2+2)(2-√2)^(n-1)
=-1/√2・(2-√2)^n…[4]

090815_m4.jpg

[3]-[4]:
2√2a_n=1/√2・{(2+√2)^n+(2-√2)^n}

a_n=1/4・{(2+√2)^n+(2-√2)^n}


後は余計な話ですが、

a_n=S_n-S_(n-1)

と言うように和の差をとると元の数列がわかるって、ちょっと微分と積分の関係に似てると思うような気がせんわけでもありえなくもないと言ったような印象を持っていますか?

それどっちやねん。

こういうの差分をとると言ったりするねんけどな。

090815_m5.jpg

数列{a_n}と連続関数f(x)を考えると

S_n=Σ(k=1~n)a_kとF(x)=∫f(x)dx

で和と積分が何か似てなくもない。

a_n=S_n-S_(n-1),f(x)=dF(x)/dx

と言うように差分をとったり、微分をすると元の数列、関数が出て来るのも似てなくもない。

さらに数列の差分、関数の微分を考えると

b_n=a_(n+1)-a_n,f'(x)=df(x)/dx

b_n>0やと{a_n}は増加
f'(x)>0やとf(x)は増加

b_n<0やと{a_n}は減少
f'(x)<0やとf(x)は減少

と似てなくもない。


それで結構対応してるようなことがたくさん出て来ますが、こうやってf(x)のような連続的に変化するものをa_nのように数列に近似して考えたりすることもあります。

これ2009年の東大の後期の問題でも扱われたな。
東京大学2009年度後期総合科目Ⅱの第2問のAの解説

高校数学の公式や問題の解説




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