受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

乗法公式、括弧の展開の仕方(中学生編)
今日は適当に乗法公式でも説明しとこか。

(以下、a^2はaの2乗って意味)


まず公式の前に、普通に展開できへんかったりすることあるねんな。

そしたらこれ展開できますか

(a+b)(c+d)

こんな文字だらけの式を見てると

090816_m_1.jpg

ぶほー!ってその辺の犬をしばきまわしたくなる気持ちはわかる。

一回落ち着け。


そしたら、これやったらどうやろ。

(a+b)X

これやったらもう

(a+b)X=aX+bX

やな。


それでXを(c+d)と書き換えると

(a+b)(c+d)=a(c+d)+b(c+d)

になるわけや。

それで

a(c+d)=ac+ad
b(c+d)=bc+bd

となるから結局


(a+b)(c+d)=a(c+d)+b(c+d)
=ac+ad+bc+bd

ってなるねん。

090816_m_2.jpg


こうやって(c+d)を一つの文字Xと考えるのがコツやねん。


乗法公式言うても、実はこれがわかっていれば十分やねんな。

○(x+a)^2=x^2+2ax+a^2

090816_m_3.jpg

って公式も、普通に展開したら

(x+a)^2=(x+a)(x+a)
=x(x+a)+a(x+a)
=x^2+xa+ax+a^2
=x^2+2ax+a^2

って言うようにaxが二つ出るってことぐらいやねん。


例、
(x+2)^2=x^2+4x+4
(3x+2)^2=9x^2+12x+4



○(x-a)^2=x^2-2ax+a^2

090816_m_4.jpg

(x-a)^2=(x-a)(x-a)
=x(x-a)-a(x-a)
=x^2-xa-ax+a^2
=x^2-2ax+a^2

展開したら-axが二つ出るってことぐらいやな。



(x-2)^2=x^2-4x+4
(3x-2)^2=9x^2-12x+4


○(x+a)(x-a)=x^2-a^2

090816_m_5.jpg

って公式は

(x+a)(x-a)=x(x-a)+a(x-a)
=x^2-ax+ax-a^2
=x^2-a^2

と言うように展開するとabと-abでちょうど消えるねん。


例、
(x-2)(x+2)=x^2-4
(2x+3)(2x-3)=4x^2-9


○(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab

090816_m_6.jpg


(x+a)(x+b)=x(x+b)+a(x+b)
=x^2+xb+ax+ab
=x^2+(a+b)x+ab

ってこれはaxとbxが出るからxでくくったみたいな感じやな。



(x+2)(x-3)=x^2+(2-3)x-6
=x^2-x-6

○(ax+b)(cx+d)=acx^2+(ad+bc)x+bd

090816_m_7.jpg

って言う公式は

(ax+b)(cx+d)=ax(cx+d)+b(cx+d)
=acx^2+adx+bcx+bd
=acx^2+(ad+bc)x+bd

これはほとんど単に展開してるだけのような気がするけど、adxとbcxをxでくくって整理してるねん。



(3x+2)(4x+7)=12x^2+(21+8)x+14
=12x^2+29x+14
(5x-2)(2x+1)=10x^2+(5-4)x-2
=10x^2+x-2


まあ最後のだけ覚えてれば全部出来るねんけど。


ただちょっとは計算早くなるとは言え、なんで単に展開するだけじゃなくて公式として覚えなあかんかと言うと、次に因数分解を習うときにx^2-x+6と言う式があると

x^2-x+6=(x-3)(x+2)

って言うように逆のことをせなあかんから、公式の形を覚えとかな因数分解が中々出来へんねんな。

因数分解は乗法公式を究めたやつの世界って言うんかな。



だから、まずは普通に展開してたらええねんけど、何回もやってるうちにだんだん覚えられるようになってきたらええねん。

中学数学の公式や問題の解説




テーマ:算数・数学の学習 - ジャンル:学校・教育

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