受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

加法定理、二倍角、半角、三倍角、和積、積和など三角関数の公式の覚え方、扱い方
三角関数の公式について説明しますわ。


数学2の三角関数の公式は多くて、どこまで覚えたらいいのか?どう扱ったらいいのかわからんことになって

090818_m8.jpg

このように人道を外れた扱い受ける子供たちが出てきます。

私たちはこのような子供をこれ以上増やさないようにしなければなりません。


だから今回は公式をどう扱えばいいのか、その辺に重点を置いて説明したいと思います。


○加法定理

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

これだけは覚えていて欲しいねんな。

覚えかたは、

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ

Sの人は、縛って拘束して、くすぐって失神させる。

S(sin)の人は、縛って(sin)拘束して(cos)、くすぐって(cos)失神させる(sin)

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

擦って、擦って、擦りまくったら、死ぬほどイッた。

擦って(cos)擦って(cos)擦りまくったら(cos)、死ぬほど(sin)イッた(sin)

どこに行くねんとか日本語的におかしい意味の分からない言葉やけど、語呂合わせはそういうもんやねん。

それでsinは死ぬほどくすぐられて、もう我慢できなくなっても、ガ!ってしばられてて動けないから符号はそのままやねんけど、cosは若い時から擦りすぎて残念なことになってるから反対になるねん。

今こんな覚えにくい語呂合わせ考えるな!ってしばかれそうになった。

まあそうやって覚えて欲しいねんけど、もし忘れたとして導くとしたら

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

を導くことを考えるねん。


h1_1.jpg


一番簡単のは(cosα,sinα)のx軸正方向から角度αをなす単位ベクトルと(cosβ,sinβ)のx軸方向から角度βをなす単位ベクトルを考えて、二つのベクトルのなす角度は|β-α|やから内積から

(cosα,sinα)・(cosβ,sinβ)=1・1・cos|β-α|

cosαcosβ+sinαsinβ=cos(β-α)

ってやる方法やな。


でも座標平面でやる正攻法でもそんなに難しくなくて、図形問題で使える手法かもしれんから、このやり方を覚えていてもいいと思います。

090818_m1.jpg

P(cosα,sinα),Q(cosβ,sinβ)の二点をxy座標にとって

PQ^2を距離の公式と余弦定理の二通りであらわすねん。

距離の公式
PQ^2=(cosα-cosβ)^2-(sinα-sinβ)^2
=2-2(cosαcosβ+sinαsinβ)

△OPQに余弦定理を適用して∠POQ=|β-α|より

PQ^2=1^2+1^2-2・1・1・cos(β-α)
=2-2cos(β-α)

よって
cos(β-α)=cosαcosβ+sinαsinβ

ってわかりました。


それで
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
さえ導けば後は簡単でcos(α+β)は
β→-β
に置き換えて
cos(α+β)=cosαcos(-β)+sinαsin(-β)
=cosαcosβ-sinαsinβ

今度はsinにするにはcos(π/2-α)=cosαだから
α→π/2-α
と置き換えてみて
cos(π/2-α-β)=cos(π/2-α)cosβ+sin(π/2-α)sinβ

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

後はsin(α-β)はこの式でβ→-βとおきかえて

sin(α-β)=sinαcos(-β)+cosαsin(-β)
=sinαcosβ-cosαsinβ


このやり方を覚えいてたら、加法定理を忘れても大丈夫です。
安心安心。


ほんまに大丈夫なんかこれ。



○tanの加法定理

tan(α+Β)=(tanα+tanΒ)/(1-tanαtanΒ)
tan(α-Β)=(tanα-tanΒ)/(1+tanαtanΒ)

これも出来れば覚えていた方が計算も早くていいですが、覚えなくてもsinとcosの加法定理から結構すぐに導かれます。

tan(α+β)=sin(α+β)/cos(α+β)
=(sinαcosβ+cosαsinβ)/(cosαcosβ-sinαsinβ)
分母分子をcosαcosβで割って
=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)

tan(α-β)=sin(α-β)/cos(α-β)
=(sinαcosβ-cosαsinβ)/(cosαcosβ+sinαsinβ)
分母分子をcosαcosβで割って
=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)

分子はsinの加法定理使うから符号はそのままで、分母はcosの加法定理だから符号は反対って感じです。


○二倍角の公式

090818_m2.jpg

sin2α=2sinαcosα

cos2α=(cosα)^2-(sinα)^2
=2(cosα)^2-1
=1-2(sinα)^2[

tan2α=2tanα/(1+(tanα)^2)


これは覚えてた方が便利で、よく使うからきっと勝手に覚えると思いますが覚えていないうちや忘れた時は加法定理から簡単に導けます。
だから忘れても大丈夫です。

090818_m3.jpg

sin2α=sin(α+α)=sinαcosα+cosαsinα
=2sinαcosα

cos2α=cos(α+α)=cosαcosα-sinαsinα
=(cosα)^2-(sinα)^2

この式で(cosα)^2=1-(sinα)^2を使ってsinであらわそうとすると

cos2α=1-2(sinα)^2

また(sinα)^2=1-(cosα)^2を使ってcosであらわそうとすると

cos2α=2(cosα)^2-1

tan2α=tan(α+α)=(tanα+tanα)/(1+tanαtanα)
=2tanα/(1+(tanα)^2)


○半角の公式
090818_m4.jpg

(sin(α/2))^2=(1-cosα)/2

(cos(α/2))^2=(1+cosα)/2


これもよく使うし確かに覚えるのにこしたことはないけど、二倍角の公式からすぐにわかります。
だから忘れても大丈夫です。

090818_m5.jpg

cos2α=1-2(sinα)^2

(sinα)^2=(1-cos2α)/2
でα→α/2におきかえて完成

cos2α=2(cosα)^2-1

(cosα)^2=(1+cos2α)/2
でα→α/2におきかえて完成


○3倍角の公式
090818_m6.jpg

sin3α=-4(sinα)^3+3sinα
cos3α=4(cosα)^3-3cosα

これは導くのは時間かかるから、覚えておいた方がええかな。

覚えかたは
sin3α=-4(sinα)^3+3sinα

しかばねは、富士山頂を指してから死んだ。

しかばね(sin3α)は、富(-)士(sinα)山頂(3乗)を指(3)してから死んた(sin)。

cos3α=4(cosα)^3-3cosα

水色の制服(夏服)のコスプレを陽子さんに着せるとか言うてる以上は、とりあえずマザコンではない。

水色の制服(夏服)のコスプレ(cos3α)を陽(4)子(cos)さん(3)に着せるとか言うてる以上(乗)は、とりあえずマ(-)ザ(3)コン(cosα)ではない。


でもそうは言っても、そんなに使う機会ないしこんなわけわからん語呂は忘れてまうねんな。

だから導きかたを覚えてください。

090818_m7.jpg

まず加法定理から
sin3α=sin(2α+α)
=sin2αcosα+cos2αsinα

sinαであらわそうとして

=2sinα(cosα)^2+(1-2(sinα)^2)sinα
=2sinα(1-(sinα)^2)+sinα-2(sinα)^3
=-4(sinα)^3+3sinα

だから
sin3α=-4(sinα)^3+3sinα

cos3αはこの式でα→π/2-αとおきかえたらすぐに出来て

sin(3π/2-3α)=-4(sin(π/2-α))^3+3sin(π/2-α)

-cos3α=-4(cosα)^3+3cos(α)

cos3α=4(cosα)^3-3cos(α)


○積→和の公式

sinαcosβ=1/2・{sin(α+β)+sin(α-β)}
cosαsinβ=1/2・{sin(α+β)-sin(α-β)}
cosαcosβ=1/2・{cos(α+β)+cos(α-β)}
sinαsinβ=-1/2・{cos(α+β)-cos(α-β)}

こんなん覚えるんか?って扱いに困る公式ですが、確かに覚えるのは理想かもしれんけど実際には使う機会も少なくて忘れてまいます。

でもこれは加法定理で

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ…[1]
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ…[2]
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ…[3]
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ…[4]

sinαcosβは([1]+[2])/2
cosαsinβは([1]-[2])/2
cosαcosβは([3]+[4])/2
sinαsinβは-([3]-[4])/2

ですぐに出ます。

だから積から和に直せるなってことと、この計算方法を覚えてたらええねん。


○和→積の公式

sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2)
sinA-sinB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)
cosA+cosB=2cos((A+B)/2)cos((A-B)/2)
cosA-cosB=-2sin((A+B)/2)sin((A-B)/2)

これも、こんなん覚えるんか?ってどういう扱いをしてええかわからん子やけど、確かに覚えるのは理想かもしれんけど実際使う機会はあまりなくて忘れると思うねんな。

だからこれもさっきの積→和の公式を作ってから

sinαcosβ=1/2・{sin(α+β)+sin(α-β)}
cosαsinβ=1/2・{sin(α+β)-sin(α-β)}
cosαcosβ=1/2・{cos(α+β)+cos(α-β)}
sinαsinβ=-1/2・{cos(α+β)-cos(α-β)}

A=α+β,B=α-βと置いたら

α=(A+B)/2,β=(A-B)/2

とあらわされて、これで書き換えたらすぐに出ます。

だから積→和の公式で
A=α+β,B=α-βと置いたら
α=(A+B)/2,β=(A-B)/2
と置き換えるって方法を覚えたらええねん。

高校数学の公式や問題の解説



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