受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

全射と単射についての説明
今回は単射と全射について説明しますわ。

単射って言うのは

090831_m1.jpg

こんな感じ。


全射って言うのは

090831_m2.jpg

こんな感じ。


これでだいたいのことは言い終わってんけど、もうちょっと説明したら

まずSとTを集合として
f:S→Tを写像とします。


それで単射とは

「Sの元a,bに対してa≠bならばf(a)≠f(b)」

となる時fを単射と言う。

対偶をとって
「f(a)=f(b)⇒a=b」
もよく使うかな。

単射は高校では1対1の写像って習うと思います。


全射についてはまずは

集合{f(x)|x∈S}
をfによるSの像と言って、f(S)またはImfと表す。

「f(A)=T」

となる時にfは全射と言う。

または言いかえると

「Tの任意の元yに対してf(x)=yとなるようなSの元xが存在する」

こと言う。

高校では全射は、上への写像とか習うと思います。


実際、大学の問題ではよくこのままの定義を示すことが多いかもしれんけど、もう少しイメージ的な説明をしてみますわ。

よくある図やねんけど、

090831_m3.jpg

矢印の先がかぶらないのが、単射って言うねん。

左側の図は→の先がかぶってないから単射やけど、右側の図はかぶってるから単射じゃないねんな。

090831_m4.jpg

全射はTの元全てに矢印がきてる状態を言うねん。
左側の図は全部矢印がきてるけど、右側の図はbだけ矢印がきてないから全射違います。

090831_m5.jpg

それで左側の図のようにdとfが余ったような全射ではない写像を考えて、

dとfを取り除いた集合がfによるSの像つまりf(S)とかImfと書けるもので、f:S→Imfは当然ながら全射になります。

当たり前やねんけど、よくこの考えは使うような気がするかな。

090831_m6.jpg

それでとりあえず単射である写像f:S→Tを考えたら、
f:S→Imf
または
f:S→f(S)
は全射で単射、つまり全単射になります。

だから単射であればf:S→Imfは全単射やから、逆写像g:Imf→Sを考えることが出来ます。

これもよく使うような気がします。

数理物理




テーマ:算数・数学の学習 - ジャンル:学校・教育

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