受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

(京大理系乙)点Oを中心とする円に内接する△ABCの3辺AB,BC,CAをそれぞれ2:3に内分する点をP,Q,Rとする。△PQRの外心が点Oと一致するとき△ABCはどのような三角形か。
6月になりましたが、まだまだ6月です。

今回は京大の2007年の理系乙からの問題です。


[問題]
080607_1.jpg

点Oを中心とする円に内接する△ABCの3辺AB,BC,CAをそれぞれ2:3に内分する点をP,Q,Rとする。
△PQRの外心が点Oと一致するとき△ABCはどのような三角形か。






[解答・解説]
080607_2.jpg

まずは絵を描くふにゅ。

なんか知らんけど、とりあえずは手を動かして絵を描いてみる。
絵を描くことで自然と問題が理解出来る、何かをやることで何かが変わります。
問題によっては絵を描いて問題を知ることで自ずと解決につながることもあります。


さて内分するからには、初等幾何ではなくベクトルや座標とかをきっと使うことが予想されます。
まずはいつものようにAB→、AC→を基本ベクトルとしてa→、b→と置いてやってみましょう。
条件を式にしていきます。
点Oが△ABCの外心であるってことは
|OA→|=|OB→|=|OC→|
です。
それでAO→=ka→+lb→
と置いて代入していってk、lを求めて今度はAP→、AQ→、AR→をa→、b→で表して
|OP→|=|OQ→|=|OR→|

080607_3.jpg


ってやってたら、血吐いて目玉飛び出して網膜剥離になって倒れることになります。


きっとこうやれば解けるはずですが、先がどうも見えにくい。
このままつっ走れば、この問題だけで時間使いまくって終わってしまうかもしれん。

どこで手を退くかって判断が迫られます。

そういう時はよく思い出してください。

京大の過去問をやってきて、こんなあほみたいな計算をやらされましたか?

いや、だいたい思いつきさえすればもう簡単に解けるものが多かったはずです。

そうこれは過去の経験、データから言えばきっと他に簡単な解き方があるわけです。


例えば女の友達同士でカラオケとか行った時いつも大人しかった、よし子が大きい声で歌い出して
「こんな子じゃなかったのに…」
ってひいてるねんけど、
「上手、上手」
って褒めなあかん時あるやん。
過去の経験から言うて、よし子が大きい声で歌うってことは間違ってるから、そういうとこ治してあげなあかんやろ。
それと一緒やな。



ただ退くと言うことは、他の方法を思いつかなければなりません。


そこでベクトルのもう一つのやり方がありました。
位置ベクトルの考え方です。
080607_4.jpg

位置ベクトルはこういう対称性のあるような問題によく使います。
例えば△ABCの3辺AB,BC,CAの中点をP,Q,Rとする。
△PQRの重心G'が△ABCの重心Gに一致することを示せって問題があります。
これは大文字の点Xの位置ベクトルを小文字でx→とあらわして
p→=(a→+b→)/2
q→=(b→+c→)/2
r→=(c→+a→)/2

g'→=(p→+q→+r→)/3=(2a→+2b→+2→c)/6=(a→+b→+c→)/3=g→

という問題をやったことは一度はあると思います。



この外心の問題も対称性があるのでこういう感じで解けないかと考えてみます。
そこで始点をOとした位置ベクトルを考えると
|OA→|=|OB→|=|OC→|
となって簡単に点Oが外心であることもあらわせ対称性も生かせそうです。
080607_5.jpg

するとさっきの計算が嘘のように簡単に解けます。



内積が等しい式までこれば、後はなす角度が等しいと導くか
(cosΘ1=cosΘ2よりΘ1=Θ2又はΘ1=360-Θ2であるが、Θ1=360-ΘはΘ1+Θ2+Θ3=360よりΘ3=0となり三角形にならないなど若干示しにくい)

それはちょっと示しにくいから、正三角形であることは予想出来るので
一番簡単なのが
|AB→|と|BC→|と|CA→|を計算して等しいことを示することです。
080607_6.jpg



高校数学の問題と解説

京都大学の入試の数学の過去問の解説




テーマ:算数・数学の学習 - ジャンル:学校・教育

▲ページトップへ
この記事に対するトラックバック
トラックバックURL
→http://kazuschool.blog94.fc2.com/tb.php/36-9066b1a8
この記事にトラックバックする(FC2ブログユーザー)
▲ページトップへ
プロフィール

わんこら

Author:わんこら
京都大学理学部で数学と物理を勉強し、数学を専攻しました。
東京で数学と物理の講師やってます

わんこら日記で日記とか勉強の仕方とか書いています

わんこら式数学の勉強法

メール
迷惑メールにされる危険性があるので出来るだけ
kazuyuki_ht○guitar.ocn.ne.jp
(○を@にしてください)に送ってください
勉強とかでどんな悩み持ってるかなど色々と教えてくれると嬉しいです。
わんこら式のやり方についてのメールはわんこら式診断プログラムを参考にしてください

詳しいプロフィール

人気blogランキングへ



にほんブログ村 受験ブログへ



学生広場

相互リンクも募集してます。

何かあれば
kazuschool_ht★yahoo.co.jp
かメールフォームからメールください。
(★を@にしてください)

カテゴリー

メールフォーム

名前:
メール:
件名:
本文:

FC2カウンター

リンク

このブログをリンクに追加する

お勧めの参考書、ノート

数学でお勧めのノートは
KOKUYOの無地
理由




センター試験は過去問が大切


チャートが終わったらお勧め
大学への数学1対1シリーズ
数学1


数学A


数学2


数学B


数学3


数学C

月別アーカイブ

ブログ内検索

RSSフィード

最近のトラックバック

ブロとも申請フォーム

この人とブロともになる

  1. 無料アクセス解析