受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

3の倍数になる組み合わせの場合の数の求め方
1から6での整数が書かれたカードがそれぞれ1枚ずつ、計5枚ある。

この中から3枚選んで、その3枚のカードの数字の和が3の倍数になる組み合わせは何通りか?



こういう問題は、もう全部書き下してまうのがコツで

(1,2,3),(1,2,6),(1,3,5),(2,3,4),(2,4,6),(3,4,5),(4,5,6)

の7通り


ってわかります。


でもこれが、1から6までじゃなくて1から50までの整数問題が出されたら解答用紙がぐちゅぐちゅぐちゅ~なって、消しゴムで消したらビリ!なって終わった!何もかも終わった!ってうへ~ってゴロゴロ~試験会場を転がりまくってとりおさえられることになります。

しかも1から3n+1なら血吐いて死ぬだけです。

今日はそうならないように、一般的な解き方を解説したいと思います。


方法は3で割った余りによって整数を分類する。

分類すると3で割った余りは0と1と2ですが、足して3の倍数になる組み合わせは

0+0+0=0

0+1+2=3

1+1+1=3

2+2+2=3

つまり(余り0,余り0,余り0),(余り0,余り1,余り2),(余り1,余り1,余り1),(余り2,余り2,余り2)の4つの場合になります。


それを念頭において、実際3n+1の例でやってみましょう。

1から3n+1までの整数があると、3で割り切れるのは

3,6,9,…,3nのn枚

3で割って余り1なのは

1,4,7,…,3n+1のn+1枚

3で割って余り2なのは

2,5,8,…,3n-1のn枚


そしたら

(余り0,余り0,余り0)の組み合わせは3で割り切れるn枚から3つ選んでn_C_3通り,

(余り0,余り1,余り2)の組み合わせは3で割り切れるn枚から1つ選んでn通り,1余るn+1枚から1つ選んでn+1通り、2余るn枚から1つ選んでn通り、つまり(n+1)n^2通り

(余り1,余り1,余り1)の組み合わせは1余るn+1枚から3つ選んでn_C_3通り

(余り2,余り2,余り2)の組み合わせは2余るn枚から3つ選んでn_C_3通り。

だから

3×n_C_3+(n+1)n^2=n(n-1)(n-2)/2+(n+1)n^2
=n(3n^2-n+2)/2


こうやって余りで分類したら出来るから、これも覚えたってください。


この余りによって整数を分類するって言う発想は、整数問題で使う剰余類とかで使うから興味あればこれも参考にしておいてください。→ 合同式≡と剰余類の説明と応用問題

高校数学の公式や問題の解説

整数問題の解法の解説と問題演習




テーマ:算数・数学の学習 - ジャンル:学校・教育

▲ページトップへ
この記事に対するトラックバック
トラックバックURL
→http://kazuschool.blog94.fc2.com/tb.php/361-8a287453
この記事にトラックバックする(FC2ブログユーザー)
▲ページトップへ
プロフィール

わんこら

Author:わんこら
京都大学理学部で数学と物理を勉強し、数学を専攻しました。
東京で数学と物理の講師やってます

わんこら日記で日記とか勉強の仕方とか書いています

わんこら式数学の勉強法

メール
迷惑メールにされる危険性があるので出来るだけ
kazuyuki_ht○guitar.ocn.ne.jp
(○を@にしてください)に送ってください
勉強とかでどんな悩み持ってるかなど色々と教えてくれると嬉しいです。
わんこら式のやり方についてのメールはわんこら式診断プログラムを参考にしてください

詳しいプロフィール

人気blogランキングへ



にほんブログ村 受験ブログへ



学生広場

相互リンクも募集してます。

何かあれば
kazuschool_ht★yahoo.co.jp
かメールフォームからメールください。
(★を@にしてください)

カテゴリー

メールフォーム

名前:
メール:
件名:
本文:

FC2カウンター

リンク

このブログをリンクに追加する

お勧めの参考書、ノート

数学でお勧めのノートは
KOKUYOの無地
理由




センター試験は過去問が大切


チャートが終わったらお勧め
大学への数学1対1シリーズ
数学1


数学A


数学2


数学B


数学3


数学C

月別アーカイブ

ブログ内検索

RSSフィード

最近のトラックバック

ブロとも申請フォーム

この人とブロともになる

  1. 無料アクセス解析