受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

円の接線は半径と垂直である証明
前回の曲線と点、曲線と曲線の距離の最小値の記事で


090914_m8.jpg

こんな食道の中を舞い降りていくウィルス性のなんかみたいなことになってる人をよく見かけます。

とか書いてたら、ほんまにウィルス性胃腸炎になって一日中倒れてもた。


みんなも書いたことはほんまになるから気をつけたってくれ。

ほんま三日間くらい流動食やったしな。



それで今度は前回のことを幾何的にやりたいねんけど、円にはこんな有名な定理があります。

090914_m2.jpg

○円に接線が引かれてるとき、その接点を通り、接線に垂直な直線(法線)は円の中心を通る


これを証明します。

この証明は数学3Cまで習えば解析的にxy平面で半径rの円
x=rcosθ
y=rsinθ
を考えて
(x,y)・(dx/dθ,dy/dθ)
=(rcosθ,rsinθ)・(-rsinθ,rcosθ)
=0
って微分したら一瞬で示せると言えば示せるねんけど、中学生ぐらいの初等幾何で示す方法を今回はやっときます。


090922_m2.jpg

ある円とその接線lがあって円の中心をO、接点をTとする。

どうやるかと言うと背理法を使うねん。

証明自体はあほみたいに簡単やねんけど、平面図形に背理法を使うから変な感じがするかもしれんな。
ありえない図形を仮定するからなあ。


l⊥OTでないと仮定して矛盾を導きます。

点Oからl上に垂線OHをおろします。
点TはOT⊥lにならんからOH⊥lとなるような別の点Hが存在するってわけやな。

それでそういう点Hがあると、l上にHT=HIとなるような点Iを点Tと反対側にとれるねん。

すると△OHTと△OHIにおいて

○辺OHは共通
○HT=HI
○∠OHT=∠OHI=90°

より二辺とその間の角が等しいから△OHT≡△OHI

だからOT=OI

になるねん。

でも線分OTの長さは半径やから、線分OIの長さ半径で円Oの周上の点でもあるわけやねんな。
だから円Oと直線lは異なる2点、TとIを共有点持つから矛盾。

lが接線やから円Oとの共有点は一つじゃないとあかんからな。


よってl⊥OT

なんか騙されたような証明やけどな。


まあこんな証明があったなって感じで流して置いてください。



それで円に接線が引かれてるとき、その接点を通り、接線に垂直な直線(法線)は円の中心を通るって言う定理があれば、前回の


○曲線C上に無い点Aがあって曲線C上を点Tが動くとする。

2点A,Tの距離dが最小になるような点Tが存在するとき

CのTにおける接線⊥直線AT
(直線AT'がCの法線)


が幾何的に簡単に示せます。

まあほぼ当たり前になってしまうねんけど。

ちなみにここで曲線は全ての点において接線が引けるものを考えたって下さい。

090922_m1.jpg

点Aを中心とした半径rの円を考えると、円周上の点は点Aから距離rの点やけど円を大きくしていって曲線Cに接するときに初めて円と曲線は共有点を持つから、このときの半径が点Aと曲線Cとの距離の最小値になるわけやん。

だから円との接点がTで、円Aの点Tにおける接線と直線ATは垂直に交わってて、円Aの点Tにおける接線と曲線Cの点Tにおける接線は共通やから、CのTにおける接線⊥直線ATと示せます。

高校数学の公式や問題の解説

中学数学の公式や問題の解説




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